Cours
1. Droite en géométrie du plan
En géométrie du plan, une droite est définie par un point et un vecteur directeur.
Un point \(M\) appartient à une droite passant par le point \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\) si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires.
2. Positions relatives de deux droites
Deux droites peuvent être :
- sécantes : elles se coupent ;
- parallèles : elles ne se coupent pas ;
- confondues : elles sont superposées.
3. Alignement de points
Trois points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.
4. Droite en géométrie repérée
En géométrie repérée, une droite non verticale peut s’écrire sous la forme :
\(y = mx + p\)
\(m\) est le coefficient directeur : il indique la direction de la droite.
\(p\) est l’ordonnée à l’origine : c’est la valeur de \(y\) lorsque \(x = 0\).
5. Calcul du coefficient directeur
Si une droite passe par deux points \(A(x_A ; y_A)\) et \(B(x_B ; y_B)\) avec \(x_A \ne x_B\), alors son coefficient directeur vaut :
\(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\)
6. Droites parallèles dans un repère
Deux droites non verticales sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
7. Lecture géométrique et lecture algébrique
Le repérage permet donc de passer d’une lecture graphique à une étude algébrique précise des droites.
Exemple 1
Soit une droite passant par le point \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\).
Pour savoir si un point \(M\) appartient à cette droite, on vérifie si les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires.
Exemple 2
Soient \(A(1 ; 2)\) et \(B(3 ; 6)\).
Le coefficient directeur de la droite (AB) vaut :
\(m = \dfrac{6 - 2}{3 - 1} = \dfrac{4}{2} = 2\)
Le coefficient directeur de la droite (AB) est donc \(2\).
Exercices
Exercice 1
Expliquer ce qu’est un vecteur directeur d’une droite.
Exercice 2
On considère une droite passant par le point \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\).
- Quelle condition doit vérifier un point \(M\) pour appartenir à cette droite ?
Exercice 3
Dire si les affirmations suivantes sont vraies :
- Deux droites parallèles peuvent se couper.
- Trois points alignés appartiennent à une même droite.
- Deux droites confondues sont aussi parallèles.
Exercice 4
Déterminer le coefficient directeur d’une droite passant par :
- \(A(1 ; 2)\) et \(B(3 ; 6)\)
Exercice 5
Soit une droite d’équation \(y = 3x - 2\).
- Donner son coefficient directeur.
- Donner son ordonnée à l’origine.
Exercice 6
Dire si deux droites de coefficients directeurs \(2\) et \(2\) sont parallèles.
Vidéo
Vidéo explicative sur les droites :
Astuce
Pour une droite passant par deux points, retiens : variation verticale sur variation horizontale.
Même coefficient directeur = droites parallèles (si elles ne sont pas verticales).
Pour montrer qu’un point appartient à une droite définie par un point et un vecteur directeur, pense à la colinéarité.