1. Appartenance

Un nombre appartient à un ensemble si on peut le trouver dans cet ensemble.

On note cela avec le symbole ∈.

Exemple : 3 ∈ ℕ

Si un nombre n’appartient pas à un ensemble, on utilise ∉.

Exemple : -2 ∉ ℕ

2. Les entiers naturels : ℕ

L’ensemble ℕ contient les entiers naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...

Ce sont les nombres que l’on utilise pour compter.

Exemples : 5 ∈ ℕ, 12 ∈ ℕ, mais -3 ∉ ℕ.

3. Les entiers relatifs : ℤ

L’ensemble ℤ contient tous les entiers, positifs, négatifs et zéro : ... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...

Exemples : -7 ∈ ℤ, 4 ∈ ℤ.

4. Les nombres décimaux : 𝔻

L’ensemble 𝔻 contient les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Exemples : 2,5 ∈ 𝔻, -3,14 ∈ 𝔻, 7 ∈ 𝔻.

En effet, un entier peut aussi s’écrire avec zéro chiffre après la virgule.

5. Les nombres rationnels : ℚ

L’ensemble ℚ contient les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction : a / b avec b ≠ 0.

Exemples : 1/2 ∈ ℚ, -7/3 ∈ ℚ, 2,5 ∈ ℚ.

Un nombre décimal est donc aussi un nombre rationnel.

6. Les nombres irrationnels

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction a / b avec b ≠ 0.

Son écriture décimale est illimitée et non périodique.

Exemples : √2, π.

Ainsi, √2 ∉ ℚ mais √2 ∈ ℝ.

7. Les nombres réels : ℝ

L’ensemble ℝ contient tous les nombres que l’on peut placer sur une droite graduée.

Les nombres réels sont formés de deux grandes familles : les nombres rationnels et les nombres irrationnels.

Donc : ℝ contient ℚ et aussi des nombres comme √2 ou π.

Exemples : 1/3 ∈ ℝ, √2 ∈ ℝ, π ∈ ℝ.

8. Inclusion

Un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tous les éléments de A appartiennent aussi à B.

On note : A ⊂ B

Pour les ensembles de nombres, on a :

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Les nombres irrationnels appartiennent à ℝ mais n’appartiennent pas à ℚ.