Cours
1. Définition
Une équation est une égalité dans laquelle il y a une inconnue.
Exemple : 2x + 3 = 11
2. Principe de résolution
Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.
On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul sans changer les solutions.
3. Résolution d’une équation simple
Résoudre : 2x + 3 = 11
2x = 8
x = 4
4. Vérification
On remplace la valeur trouvée dans l’équation de départ.
Exemple : 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11
Donc x = 4 est bien solution.
5. Cas particuliers
Certaines équations n’ont pas de solution.
Exemple : x + 2 = x + 5
D’autres ont une infinité de solutions.
Exemple : 2(x + 1) = 2x + 2
6. Équation avec second membre nul
Une équation avec second membre nul est une équation de la forme :
expression = 0
Exemple : 3x - 12 = 0
On résout comme une équation classique :
3x = 12
x = 4
7. Équation-produit
Une équation-produit est une équation dans laquelle un produit de facteurs est égal à zéro.
Exemple : (x - 3)(x + 2) = 0
8. Propriété du produit nul
Si un produit est nul, alors au moins l’un de ses facteurs est nul.
Autrement dit :
A × B = 0 signifie que A = 0 ou B = 0.
9. Méthode pour résoudre une équation-produit
Pour résoudre une équation-produit :
- Vérifier que l’équation est bien sous la forme d’un produit égal à zéro.
- Écrire que chaque facteur peut être égal à zéro.
- Résoudre les équations obtenues.
- Donner l’ensemble des solutions.
Exemple 1 — Équation-produit simple
Résoudre : (x - 3)(x + 2) = 0
D’après la propriété du produit nul :
x - 3 = 0 ou x + 2 = 0
Donc :
x = 3 ou x = -2
Les solutions sont donc : S = {-2 ; 3}
Exemple 2 — Avec un facteur du premier degré
Résoudre : (2x - 4)(x + 5) = 0
2x - 4 = 0 ou x + 5 = 0
2x = 4 ou x = -5
x = 2 ou x = -5
Les solutions sont : S = {-5 ; 2}
Exemple 3 — Attention au second membre
Résoudre : (x - 1)(x + 4) = 0
Ici, le second membre est bien égal à zéro. On peut donc utiliser la propriété du produit nul.
x - 1 = 0 ou x + 4 = 0
x = 1 ou x = -4
Donc : S = {-4 ; 1}
Erreur fréquente
On ne peut utiliser la propriété du produit nul que si le produit est égal à zéro.
Par exemple, pour (x - 2)(x + 3) = 5, on ne peut pas écrire directement x - 2 = 0 ou x + 3 = 0.
Exercices
Exercice 1
Résoudre :
- x + 5 = 9
- 2x = 14
- x - 3 = 8
Exercice 2
Résoudre :
- 3x + 4 = 19
- 5x - 10 = 0
- 7x + 2 = 30
Exercice 3
Résoudre puis vérifier :
- 3x + 5 = 2x + 11
- 4x - 7 = 2x + 9
- 5x + 2 = 3x - 6
Exercice 4
Dire si l’équation a une solution, aucune solution ou une infinité de solutions :
- x + 3 = x + 3
- x + 2 = x + 7
Exercice 5 — Équations-produit
Résoudre :
- (x - 4)(x + 1) = 0
- (x + 6)(x - 2) = 0
- (x - 7)(x - 3) = 0
Exercice 6 — Équations-produit avec coefficients
Résoudre :
- (2x - 6)(x + 3) = 0
- (5x + 10)(x - 1) = 0
- (3x - 12)(2x + 8) = 0
Exercice 7 — Reconnaître une équation-produit
Indiquer si l’on peut utiliser directement la propriété du produit nul :
- (x - 2)(x + 5) = 0
- (x + 1)(x - 4) = 7
- 3(x - 6)(x + 2) = 0
Vidéo
Vidéo explicative sur les équations :
Astuce
Isole toujours l’inconnue progressivement, étape par étape.
Pour une équation-produit, vérifie toujours que le second membre est bien égal à zéro.
Pense à vérifier ton résultat dans l’équation de départ : c’est le meilleur moyen d’éviter une erreur.