Les ensembles ℕ et ℤ

L’ensemble ℕ contient les entiers naturels : ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}.

L’ensemble ℤ contient les entiers relatifs : ℤ = {... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}.

Tout entier naturel est un entier relatif : ℕ ⊂ ℤ.

Définition

Soient a et b deux entiers, avec b ≠ 0. On dit que a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que :

a = k × b.

Dans ce cas, b est un diviseur de a.

Critères utiles

• Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Il est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Il est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
• Il est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
• Il est divisible par 10 s’il se termine par 0.

Propriété

La somme de deux multiples d’un même entier est encore un multiple de cet entier.

Définitions

Un entier n est pair s’il existe un entier k tel que :

n = 2k.

Un entier n est impair s’il existe un entier k tel que :

n = 2k + 1.

Exemples : 42 = 2 × 21 est pair et 35 = 2 × 17 + 1 est impair.

Quelques résultats de parité

• pair + pair = pair ;
• impair + impair = pair ;
• pair + impair = impair ;
• le produit de deux nombres impairs est impair ;
• un produit contenant un facteur pair est pair.

5.1 Rappel : nombre premier

Un entier naturel est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Le nombre 1 n’est pas premier ; 0 non plus. Le seul nombre premier pair est 2.

5.2 Complément : tester si un entier n ≥ 2 est premier

Il suffit de tester les diviseurs premiers inférieurs ou égaux à √n. Si aucun ne divise n, alors n est premier.

En effet, dans une factorisation n = ab avec 1 < a ≤ b, on a a ≤ √n ; un diviseur premier de a est alors lui aussi inférieur ou égal à √n.

5.3 Décomposition en facteurs premiers - Propriété admise

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 s’écrit comme un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

30 = 2 × 3 × 5 ; 72 = 2³ × 3².

5.4 Entiers premiers entre eux et fractions irréductibles

Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur positif commun est 1. Cela ne signifie pas que chacun est premier : 20 et 77 sont premiers entre eux, bien qu’ils ne soient pas premiers.

Une fraction a/b, où a et b sont des entiers et b ≠ 0, est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. On choisit habituellement un dénominateur positif.

Tester si un entier est un multiple d’un autre

Le reste de la division euclidienne de a par b est obtenu en Python avec a % b. Si ce reste vaut 0, alors a est un multiple de b.

def est_multiple(a, b):
    return a % b == 0

Par exemple, est_multiple(42, 7) renvoie True.

Plus grand multiple de a inférieur ou égal à b

Pour des entiers naturels a > 0 et b :

def plus_grand_multiple(a, b):
    quotient = b // a
    return quotient * a

Par exemple, le plus grand multiple de 7 inférieur ou égal à 50 est 49.