Cours
1. Le carré d'un réel
Pour tout réel a :
a² = a × a
Un carré est toujours positif ou nul : a² ≥ 0. Il est nul uniquement lorsque a = 0.
Attention aux parenthèses : (−5)² = 25, tandis que −5² = −(5²) = −25.
2. Carré d'un produit et d'un quotient
Pour tous réels a et b :
(ab)² = a²b²
Pour b ≠ 0 :
(a/b)² = a²/b²
Exemples
(−2 × 3)² = (−2)² × 3² = 4 × 9 = 36
(−3/5)² = 9/25
3. Les trois identités remarquables
Pour tous réels a et b :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²
Les membres de gauche sont sous forme factorisée ; les membres de droite sont sous forme développée. Ces égalités s'utilisent dans les deux sens.
Développer avec une identité remarquable
(2x + 3)² = (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² + 12x + 9
(5x − 1)² = 25x² − 10x + 1
(3x + 4)(3x − 4) = 9x² − 16
4. Développer avec la distributivité
Pour tous réels k, a et b :
k(a + b) = ka + kb
k(a − b) = ka − kb
Double distributivité
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemples
3(x + 2) = 3x + 6
−2(x − 4) = −2x + 8
(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
5. Développer et réduire
- Supprimer les parenthèses par distributivité ou avec une identité remarquable.
- Respecter les signes, notamment lorsqu'un signe « − » précède une parenthèse.
- Regrouper les termes de même nature.
- Ordonner l'expression obtenue.
Exemple corrigé
A = 3(2x − 5) − (x + 2)(x − 4)
A = 6x − 15 − (x² − 2x − 8)
A = 6x − 15 − x² + 2x + 8
A = −x² + 8x − 7
6. Factoriser avec un facteur commun
Factoriser consiste à transformer une somme ou une différence en produit. On recherche d'abord un facteur commun.
ab + ac = a(b + c)
ax² + bx = x(ax + b)
Exemples
6x² − 15x = 3x(2x − 5)
(x + 1)(2x − 3) + 5(x + 1) = (x + 1)(2x − 3 + 5) = (x + 1)(2x + 2)
−2x − 4 = −2(x + 2)
Erreur fréquente : 3x + 6 se factorise en 3(x + 2), et non en 3(x + 6). Pour vérifier une factorisation, redéveloppe le résultat.
7. Factoriser avec une identité remarquable
- a² + 2ab + b² = (a + b)²
- a² − 2ab + b² = (a − b)²
- a² − b² = (a − b)(a + b)
Exemples
x² − 10x + 25 = x² − 2 × x × 5 + 5² = (x − 5)²
49x² − 9 = (7x − 3)(7x + 3)
8. Choisir la forme adaptée
Pour E(x) = (x − 4)² − 9, on peut écrire :
- forme initiale : (x − 4)² − 9, pratique pour calculer près de 4 ;
- forme développée : x² − 8x + 7, pratique pour lire ou comparer les coefficients ;
- forme factorisée : (x − 7)(x − 1), pratique pour résoudre E(x) = 0 ou étudier un signe.
Il n'existe pas une forme toujours meilleure : on choisit celle qui rend la question la plus simple.
9. Simplifier une fraction littérale
Une fraction littérale A(x)/B(x) existe uniquement lorsque son dénominateur est non nul : B(x) ≠ 0.
On peut simplifier uniquement des facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Il faut donc factoriser avant de simplifier.
Exemple
Pour x ≠ −2 :
(6x + 12)/(3x + 6) = 6(x + 2)/[3(x + 2)] = 2
En revanche, (x + 3)/x ne se simplifie pas : x n'est pas un facteur de tout le numérateur.
À retenir : on simplifie des facteurs, jamais les termes d'une somme ou d'une différence.
Méthodes à retenir
Pour développer
Repère la distributivité ou une identité remarquable, supprime les parenthèses, puis réduis les termes de même nature.
Pour factoriser
Cherche d'abord un facteur commun. S'il n'y en a pas, vérifie si l'expression correspond à une identité remarquable.
Pour contrôler
Après une factorisation, redéveloppe mentalement le produit. Après un développement, vérifie les signes et les termes de même degré.
Exercices d'entrainement
Exercice 1 — Carrés et signes
Calculer sans calculatrice :
- (−7)²
- −7²
- (−2 × 5)²
- (−3/4)²
Afficher la correction
- (−7)² = (−7) × (−7) = 49. Le carré porte sur le nombre négatif entier.
- −7² = −(7 × 7) = −49. Sans parenthèses, le carré porte seulement sur 7 ; le signe moins est appliqué ensuite.
- (−2 × 5)² = (−10)² = 100. On peut aussi utiliser (ab)² = a²b² : (−2)² × 5² = 4 × 25.
- (−3/4)² = (−3)²/4² = 9/16. On élève au carré le numérateur et le dénominateur.
Exercice 2 — Distributivité simple
Développer et réduire :
- A = 4(x + 3)
- B = −3(x − 5)
- C = 7 − 2(3x + 1)
Afficher la correction
- A = 4x + 12. On distribue 4 : 4 × x + 4 × 3.
- B = −3x + 15. On distribue −3 : (−3) × x + (−3) × (−5).
- C = 7 − 6x − 2 = −6x + 5. Le facteur −2 multiplie les deux termes de la parenthèse.
Exercice 3 — Double distributivité
Développer et réduire :
- D = (x + 4)(x + 2)
- E = (2x − 3)(x + 5)
- F = (3x + 1)(2x − 4)
Afficher la correction
- D = x² + 2x + 4x + 8 = x² + 6x + 8. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
- E = 2x² + 10x − 3x − 15 = 2x² + 7x − 15. On regroupe les termes en x.
- F = 6x² − 12x + 2x − 4 = 6x² − 10x − 4. Attention au signe du produit 1 × (−4).
Exercice 4 — Identités remarquables
Développer :
- G = (x + 6)²
- H = (2x − 5)²
- I = (4x − 3)(4x + 3)
Afficher la correction
- Avec (a + b)² = a² + 2ab + b² : G = x² + 12x + 36. Le terme du milieu vaut 2 × x × 6.
- Avec (a − b)² = a² − 2ab + b² : H = 4x² − 20x + 25. Ici a = 2x et b = 5.
- Avec (a − b)(a + b) = a² − b² : I = (4x)² − 3² = 16x² − 9.
Exercice 5 — Facteur commun
Factoriser :
- J = 5x + 15
- K = 8x² − 12x
- L = (x − 2)(3x + 1) + 4(x − 2)
Afficher la correction
- Le facteur commun est 5 : J = 5(x + 3).
- Le facteur commun est 4x : K = 4x(2x − 3). Développer redonne bien 8x² − 12x.
- Le facteur commun est (x − 2) : L = (x − 2)[(3x + 1) + 4] = (x − 2)(3x + 5).
Exercice 6 — Factorisation remarquable
Factoriser :
- M = x² + 12x + 36
- N = 9x² − 24x + 16
- P = 25x² − 49
Afficher la correction
- On reconnaît x² + 2 × x × 6 + 6² : M = (x + 6)².
- On reconnaît (3x)² − 2 × 3x × 4 + 4² : N = (3x − 4)².
- C’est une différence de deux carrés : P = (5x)² − 7² = (5x − 7)(5x + 7).
Exercice 7 — Choisir une forme adaptée
On considère Q(x) = (x − 3)² − 16.
- Développer et réduire Q(x).
- Factoriser Q(x).
- Choisir la forme la plus adaptée pour calculer Q(3).
- Choisir la forme la plus adaptée pour résoudre Q(x) = 0.
Afficher la correction
- Q(x) = x² − 6x + 9 − 16 = x² − 6x − 7. On développe le carré puis on réduit les constantes.
- Q(x) = [(x − 3) − 4][(x − 3) + 4] = (x − 7)(x + 1). On utilise une différence de carrés.
- La forme initiale est la plus rapide : Q(3) = (3 − 3)² − 16 = −16.
- La forme factorisée est adaptée : (x − 7)(x + 1) = 0. Un produit est nul si l’un des facteurs est nul : x = 7 ou x = −1.
Exercice 8 — Problème
Un rectangle a pour longueur x + 5 et pour largeur x + 2, avec x > 0.
- Exprimer son aire sous forme factorisée.
- Développer et réduire cette expression.
- Calculer l'aire pour x = 3.
Afficher la correction
- L’aire est le produit de la longueur par la largeur : A(x) = (x + 5)(x + 2). Les deux dimensions sont positives puisque x > 0.
- Par double distributivité : A(x) = x² + 2x + 5x + 10 = x² + 7x + 10.
- Pour x = 3 : A(3) = (3 + 5)(3 + 2) = 8 × 5 = 40 unités d’aire. Vérification avec la forme développée : 9 + 21 + 10 = 40.
Vidéo
Développer, réduire et factoriser
Retrouve ici une vidéo explicative consacrée aux principales méthodes du calcul littéral.
À retenir
Développer transforme un produit en somme. Factoriser transforme une somme en produit. Les identités remarquables fonctionnent dans les deux sens.
La forme développée facilite la lecture des coefficients ; la forme factorisée facilite la résolution d'une équation-produit et l'étude d'un signe.