1. Vecteur directeur d’une droite
Un vecteur directeur d’une droite \(d\) est un vecteur non nul qui possède la même direction que \(d\).
- Si \(A\) et \(B\) sont deux points distincts de \(d\), alors \(\overrightarrow{AB}\) dirige \(d\).
- Si \(\vec u\) dirige \(d\), tout vecteur non nul colinéaire à \(\vec u\) dirige aussi \(d\).
Caractérisation d’une droite
La droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec u\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec u\) sont colinéaires.
2. Équation cartésienne
Toute droite possède une équation cartésienne \(ax+by+c=0\), avec \((a,b)\ne(0,0)\). Un vecteur directeur est alors \(\vec u(-b\,;a)\). Réciproquement, l’ensemble des points M(x ; y) qui vérifient une telle équation est une droite.
Déterminer une équation à partir d’un point et d’un vecteur
La droite \(d\) passe par A(2 ; −1) et admet \(\vec u(-2\,;3)\) comme vecteur directeur. Pour M(x ; y), les vecteurs \(\overrightarrow{AM}(x-2\,;y+1)\) et \(\vec u\) sont colinéaires.
Tester l’appartenance d’un point
On remplace \(x\) et \(y\) par les coordonnées du point dans l’équation \(3x+2y-4=0\).
| Point testé | Substitution dans \(3x+2y-4\) | Conclusion |
|---|---|---|
| P(0 ; 2) | \(3\times0+2\times2-4=0\) | \(P\in d\) |
| Q(1 ; 0) | \(3\times1+2\times0-4=-1\ne0\) | \(Q\notin d\) |
3. Équation réduite et pente
Droite non verticale
Elle possède une unique équation réduite \(y=mx+p\), où \(m\) est la pente et \(p\) l’ordonnée à l’origine.
Droite verticale
Son équation est de la forme \(x=k\). Elle n’a pas de coefficient directeur.
Passer de la forme cartésienne à la forme réduite
Si \(b\ne0\), on isole \(y\) :
Ainsi, \(m=-a/b\) et \(p=-c/b\). Si \(b=0\), la droite est verticale et son équation est \(x=-c/a\).
Pour \(-3x+y+4=0\), on isole \(y\) :
Calculer la pente avec deux points
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), avec \(x_A\ne x_B\), alors \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).
Exemple
Avec A(−2 ; −3) et B(2 ; 5) :
Comme \(A\) appartient à la droite, \(-3=2\times(-2)+p\), donc \(p=1\). Finalement, \(\boxed{y=2x+1}\).
4. Déterminer une équation de droite
| Données | Méthode |
|---|---|
| Deux points distincts \(A\) et \(B\) | Calculer la pente, puis \(p\), ou utiliser \(\overrightarrow{AB}\) comme vecteur directeur. |
| Un point \(A\) et une pente \(m\) | Écrire \(y=mx+p\), puis remplacer \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(A\). |
| Un point \(A\) et un vecteur \(\vec u\) | Écrire que \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec u\) sont colinéaires. |
| A(k ; yA) et une droite verticale | L’équation est \(x=k\). |
Une droite possède une infinité d’équations cartésiennes proportionnelles, mais une seule équation réduite lorsqu’elle n’est pas verticale.
5. Positions relatives de deux droites
Avec des équations réduites
Deux droites \(y=mx+p\) et \(y=m'x+p'\) sont parallèles si et seulement si \(m=m'\).
- Si \(m=m'\) et \(p\ne p'\), elles sont strictement parallèles.
- Si \(m=m'\) et \(p=p'\), elles sont confondues.
- Si \(m\ne m'\), elles sont sécantes.
Avec des équations cartésiennes
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Pour \(ax+by+c=0\) et \(a'x+b'y+c'=0\), on teste \(ab'-a'b=0\).
Calculer un point d’intersection
Soient \(d_1:y=2x+1\) et \(d_2:y=-x+7\). Au point d’intersection, les ordonnées sont égales :
Puis \(y=2\times2+1=5\). Le point d’intersection est I(2 ; 5).
6. Vérifier un alignement
Trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, c’est-à-dire si \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\). On peut aussi déterminer l’équation de la droite \((AB)\), puis vérifier si les coordonnées de \(C\) la satisfont.
Pour A(1 ; 0), B(3 ; 4) et C(4 ; 6), on a \(\overrightarrow{AB}(2\,;4)\) et \(\overrightarrow{AC}(3\,;6)\).
Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont donc alignés.
7. Erreurs fréquentes
- utiliser la formule de la pente lorsque \(x_A=x_B\) : la droite est alors verticale ;
- oublier que \((-b\,;a)\), et non \((a\,;b)\), dirige \(ax+by+c=0\) ;
- confondre coefficient directeur \(m\) et ordonnée à l’origine \(p\) ;
- conclure que deux droites sont confondues parce qu’elles ont seulement la même pente ;
- calculer une intersection sans vérifier le résultat dans les deux équations ;
- faire une erreur de signe en soustrayant des coordonnées négatives.
Exercices d’entraînement
Exercice 1 - Vecteur directeur
Donner un vecteur directeur de chacune des droites : \(2x-3y+5=0\), \(y=-4x+1\) et \(x=7\).
Afficher la correction
- Pour \(2x-3y+5=0\), les coefficients sont \(a=2\) et \(b=-3\). Un vecteur directeur est donc \(\vec u(-b\,;a)=\boxed{\vec u(3\,;2)}\).
- Pour \(y=-4x+1\), la pente vaut \(-4\). Lorsque l’abscisse augmente de 1, l’ordonnée diminue de 4 : \(\boxed{\vec v(1\,;-4)}\) dirige cette droite.
- La droite \(x=7\) est verticale. Un déplacement vertical laisse l’abscisse inchangée : \(\boxed{\vec w(0\,;1)}\) est un vecteur directeur.
Ces trois vecteurs sont non nuls. Tout multiple non nul de chacun d’eux convient également.
Exercice 2 - Appartenance
Les points A(2 ; 1) et B(−1 ; 3) appartiennent-ils à la droite \(3x+2y-8=0\) ?
Afficher la correction
Un point appartient à la droite si ses coordonnées vérifient l’équation.
- Pour \(A(2\,;1)\) : \(3\times2+2\times1-8=6+2-8=0\). Donc \(\boxed{A\in d}\).
- Pour \(B(-1\,;3)\) : \(3\times(-1)+2\times3-8=-3+6-8=-5\ne0\). Donc \(\boxed{B\notin d}\).
Exercice 3 - Équation cartésienne
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(1 ; −2) et dirigée par \(\vec u(3\,;4)\).
Afficher la correction
Soit \(M(x\,;y)\). On a \(\overrightarrow{AM}(x-1\,;y+2)\). Le point \(M\) appartient à la droite si et seulement si ce vecteur est colinéaire à \(\vec u(3\,;4)\).
On annule leur déterminant : \(4(x-1)-3(y+2)=0\).
En développant : \(4x-4-3y-6=0\). Une équation cartésienne est donc \(\boxed{4x-3y-10=0}\).
Vérification : pour \(A\), \(4\times1-3\times(-2)-10=0\). Le vecteur \((-b\,;a)=(3\,;4)\) est bien le vecteur demandé.
Exercice 4 - Équation réduite
Déterminer l’équation réduite de la droite passant par A(−1 ; 4) et B(3 ; −2).
Afficher la correction
Les abscisses de \(A\) et \(B\) sont différentes : la droite admet une équation réduite.
Sa pente vaut \(m=\dfrac{-2-4}{3-(-1)}=\dfrac{-6}{4}=-\dfrac32\).
On écrit \(y=-\dfrac32x+p\). Comme \(A(-1\,;4)\) appartient à la droite, \(4=\dfrac32+p\), donc \(p=\dfrac52\).
Ainsi, \(\boxed{y=-\dfrac32x+\dfrac52}\).
Vérification : pour \(x=-1\), on obtient \(y=4\) ; pour \(x=3\), on obtient \(y=-\dfrac92+\dfrac52=-2\).
Exercice 5 - Parallélisme
Étudier la position relative de \(d:2x-y+3=0\) et \(\Delta:4x-2y-5=0\).
Afficher la correction
On isole \(y\) dans chaque équation :
- \(d:2x-y+3=0\iff y=2x+3\) ;
- \(\Delta:4x-2y-5=0\iff y=2x-\dfrac52\).
Les deux droites ont la même pente \(2\), mais des ordonnées à l’origine différentes : \(3\ne-\dfrac52\).
Elles sont donc strictement parallèles : elles n’ont aucun point d’intersection.
Exercice 6 - Intersection
Déterminer le point d’intersection des droites \(y=3x-4\) et \(y=-2x+6\).
Afficher la correction
Les pentes \(3\) et \(-2\) sont différentes : il existe un unique point d’intersection. Ses coordonnées vérifient les deux équations.
On égalise les expressions de \(y\) : \(3x-4=-2x+6\), soit \(5x=10\), donc \(x=2\).
On calcule ensuite \(y=3\times2-4=2\). Le point d’intersection est donc \(\boxed{I(2\,;2)}\).
Vérification dans la seconde équation : \(-2\times2+6=2\). Le point appartient bien aux deux droites.
Exercice 7 - Alignement
Les points A(−2 ; 1), B(1 ; 7) et C(3 ; 11) sont-ils alignés ? Justifier par un déterminant.
Afficher la correction
On calcule les coordonnées des deux vecteurs de même origine :
- \(\overrightarrow{AB}(1-(-2)\,;7-1)=(3\,;6)\) ;
- \(\overrightarrow{AC}(3-(-2)\,;11-1)=(5\,;10)\).
Leur déterminant vaut \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=3\times10-6\times5=30-30=0\).
Les vecteurs sont colinéaires. Les points \(\boxed{A,\ B\text{ et }C\text{ sont alignés}}\).
On retrouve ce résultat avec la droite \((AB)\), d’équation \(y=2x+5\) : pour \(C\), \(2\times3+5=11\).
Vidéo
Ajoutez ici votre vidéo sur les vecteurs directeurs et les équations de droites.
À retenir
Pour \(ax+by+c=0\), un vecteur directeur est \((-b\,;a)\).
Pour une droite non verticale, \(m=\Delta y/\Delta x\) et l’équation réduite est \(y=mx+p\).
Même pente signifie parallèles ou confondues ; des pentes différentes donnent des droites sécantes.