1. La taille de l’échantillon est n = 40, le nombre de piles observés est k = 23. La pièce étant équilibrée, la probabilité théorique est p = 1/2 = 0,5.
2. La fréquence observée est f = 23/40 = 0,575, soit 57,5 %.
3. L’écart vaut |f − p| = |0,575 − 0,5| = 0,075, soit 7,5 points de pourcentage. Cette série comporte proportionnellement plus de piles que la valeur théorique, mais cet écart peut être dû au hasard. Il ne suffit pas à remettre en cause l’équilibre de la pièce.

1. La fréquence est f = 108/600 = 0,18, soit 18 %.
2. Pour un dé équilibré, p = 1/6 ≈ 0,1667. La fréquence observée est supérieure à p. Sans arrondir p au préalable, |f − p| = 0,18 − 1/6 = 1/75 ≈ 0,01333.
3. 1/√600 ≈ 0,04082. Ainsi, |f − p| < 1/√600. L’écart observé reste inférieur au repère proposé dans le cours. Ce constat est compatible avec le modèle du dé équilibré, sans démontrer que le dé est équilibré.

1. La fréquence de boules rouges est f = 35/60 = 7/12 ≈ 0,5833, soit environ 58,33 %.
2. La probabilité du modèle est p = 0,75. L’écart exact vaut |f − p| = |7/12 − 3/4| = 1/6 ≈ 0,1667, soit environ 16,67 points de pourcentage.
3. 1/√60 ≈ 0,1291. L’écart est donc supérieur au repère : 0,1667 > 0,1291. Le résultat s’écarte sensiblement de la proportion annoncée selon ce critère. Il invite à vérifier le protocole et à recueillir d’autres observations ; il ne prouve ni une erreur de Cyril ni une composition différente de l’urne. Les tirages doivent être effectués au hasard, avec remise et mélange entre les tirages.

1. Les trois élèves réalisent des séries aléatoires différentes : le nombre de piles peut varier d’une série à l’autre. Il s’agit de la fluctuation d’échantillonnage.
2. Ces fréquences correspondent respectivement à 21, 27 et 30 piles sur 50 lancers. Ce sont des effectifs possibles. Les différences ne suffisent donc pas à conclure qu’une simulation est fausse. Pour une pièce équilibrée, la probabilité reste 0,5, même si les fréquences observées sont différentes.

n est le nombre de lancers, un entier strictement positif. compteur, initialisé à 0, compte les succès ; dans le programme du cours, un succès est l’apparition de la face 6. La fonction renvoie la fréquence compteur / n.

Pour compter les nombres pairs, on remplace le test par randint(1, 6) % 2 == 0 : le reste de la division par 2 est nul pour 2, 4 et 6.

from random import randint

def frequence_pair(n):
    compteur = 0
    for _ in range(n):
        if randint(1, 6) % 2 == 0:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

print(frequence_pair(600))

La probabilité théorique de l’événement est 3/6 = 1/2. La valeur renvoyée varie d’une exécution à l’autre.

Après avoir exécuté la définition de frequence_six du cours, on peut utiliser :

for n in (20, 2000):
    frequences = [frequence_six(n) for _ in range(10)]
    etendue = max(frequences) - min(frequences)
    print("Taille :", n)
    print("Frequences :", frequences)
    print("Etendue :", etendue)

Pour chaque taille, la liste contient les fréquences de dix échantillons distincts. L’étendue est la fréquence maximale moins la fréquence minimale.

On observe généralement une étendue plus petite pour n = 2 000 que pour n = 20 : les grands échantillons présentent des fréquences plus concentrées autour de 1/6. Ce n’est pas garanti pour chaque exécution, notamment avec seulement dix échantillons par taille. Il n’existe donc pas de résultat numérique unique attendu ; on peut répéter l’expérience pour consolider l’observation.