1. Notion de fonction
Définition
Une fonction \(f\) associe à chaque nombre \(x\) de son ensemble de définition un unique nombre noté \(f(x)\).
- \(f(x)\) est l’image de \(x\) par \(f\) ;
- si \(f(x)=y\), alors \(x\) est un antécédent de \(y\) ;
- l’ensemble de définition, noté \(D_f\), contient les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) existe.
Courbe représentative
Dans un repère, la courbe \(\mathcal C_f\) d’équation \(y=f(x)\) est l’ensemble des points \(M(x;y)\) tels que \(y=f(x)\).
Ainsi, \(M(a;b)\in\mathcal C_f\) si et seulement si \(b=f(a)\).
Exemple
Pour \(f(x)=-2x+3\), l’image de \(2\) est \(f(2)=-1\). Un antécédent de \(7\) vérifie \(-2x+3=7\), donc \(x=-2\).
2. Fonction affine
Définition et représentation
Une fonction affine est définie sur \(\mathbb R\) par :
Sa représentation est la droite d’équation \(y=mx+p\). Le nombre \(m\) est le coefficient directeur et \(p\) l’ordonnée à l’origine.
- si \(m=0\), la fonction est constante ;
- si \(p=0\), la fonction est linéaire et sa droite passe par l’origine.
Variations et signe
- si \(m>0\), la fonction est strictement croissante ;
- si \(m<0\), elle est strictement décroissante ;
- si \(m\neq0\), elle s’annule en \(x=-\dfrac{p}{m}\).
Exemple : construire une droite
Pour \(f(x)=2x-2\), on obtient \(f(0)=-2\) et \(f(1)=0\). La droite passe donc par \(A(0;-2)\) et \(B(1;0)\).
3. Les fonctions de référence
| Fonction | Expression | Ensemble de définition | Propriété essentielle |
|---|---|---|---|
| Valeur absolue | \(f(x)=|x|\) | \(\mathbb R\) | paire, minimum 0 en 0 |
| Carré | \(f(x)=x^2\) | \(\mathbb R\) | paire et positive |
| Inverse | \(f(x)=\dfrac1x\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | impaire, 0 interdit |
| Racine carrée | \(f(x)=\sqrt{x}\) | \([0;+\infty[\) | positive et croissante |
| Cube | \(f(x)=x^3\) | \(\mathbb R\) | impaire et croissante |
Valeur absolue : \(y=|x|\)
Décroissante sur \(]-\infty;0]\), puis croissante sur \([0;+\infty[\).
Carré : \(y=x^2\)
Décroissante sur \(]-\infty;0]\), puis croissante sur \([0;+\infty[\).
Inverse : \(y=\dfrac1x\)
Décroissante sur chacun des intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\).
Racine carrée : \(y=\sqrt{x}\)
Elle est définie et croissante sur \([0;+\infty[\).
Cube : \(y=x^3\)
Elle est définie et strictement croissante sur \(\mathbb R\).
4. Signe, variations et symétries
Fonctions paires et impaires
- \(|-x|=|x|\) et \((-x)^2=x^2\) : les fonctions valeur absolue et carré sont paires ; leurs courbes sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
- \((-x)^3=-x^3\) et \(\dfrac1{-x}=-\dfrac1x\) : les fonctions cube et inverse sont impaires ; leurs courbes sont symétriques par rapport à l’origine.
Signe
- \(|x|\geq0\), \(x^2\geq0\) et \(\sqrt{x}\geq0\) sur leurs ensembles de définition ;
- \(x^3\) a le même signe que \(x\) ;
- \(\dfrac1x\) a le même signe que \(x\), avec \(x\neq0\).
Comparer : commence par repérer l’intervalle. Sur \([0;+\infty[\), la fonction carré est croissante : si \(0\leq a<b\), alors \(a^2<b^2\).
5. Résoudre graphiquement
Équation \(f(x)=k\)
Les solutions sont les abscisses des points d’intersection de \(\mathcal C_f\) avec la droite horizontale d’équation \(y=k\).
Inéquation \(f(x)<k\)
Les solutions sont les abscisses des points de \(\mathcal C_f\) situés strictement sous la droite d’équation \(y=k\). Pour \(f(x)\geq k\), on retient les points situés sur ou au-dessus.
Exemple avec la fonction carré
- \(x^2=9\) a pour solutions \(-3\) et \(3\) ;
- \(x^2<9\) a pour solutions \(]-3;3[\) ;
- \(x^2\geq9\) a pour solutions \(]-\infty;-3]\cup[3;+\infty[\).
Méthode
- Identifier la ou les courbes à utiliser.
- Repérer les points d’intersection.
- Lire leurs abscisses.
- Pour une inéquation, sélectionner les intervalles où la courbe est au-dessus ou en dessous.
- Écrire la réponse sous forme d’ensemble ou d’intervalles.
Exercices d’entraînement
Exercice 1 - Images et antécédents
Soit \(f(x)=3x-2\).
- Calculer \(f(5)\).
- Déterminer l’antécédent de \(7\).
- Le point \(A(4;10)\) appartient-il à \(\mathcal C_f\) ?
Afficher la correction
- On remplace x par 5 : \(f(5)=3\times5-2=15-2=\boxed{13}\).
- Un antécédent de 7 vérifie \(f(x)=7\), soit \(3x-2=7\). On ajoute 2 puis on divise par 3 : \(3x=9\), donc \(\boxed{x=3}\). Vérification : \(f(3)=9-2=7\). Cet antécédent est unique.
- Le point A appartient à la courbe si son ordonnée est l’image de son abscisse. Or \(f(4)=3\times4-2=10\). Donc \(\boxed{A\in\mathcal C_f}\).
Exercice 2 - Ensembles de définition
Donner l’ensemble de définition de \(x\mapsto x^2\), \(x\mapsto\sqrt{x}\), \(x\mapsto\dfrac1x\) et \(x\mapsto|x|\).
Afficher la correction
- Le carré \(x^2\) existe pour tout réel : \(\boxed{D=\mathbb R}\).
- La racine carrée réelle exige \(x\geq0\) : \(\boxed{D=[0;+\infty[}\).
- L’inverse exige un dénominateur non nul, donc \(x\ne0\) : \(\boxed{D=\mathbb R\setminus\{0\}}\), soit \(]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\).
- La valeur absolue \(|x|\) existe pour tout réel : \(\boxed{D=\mathbb R}\).
Exercice 3 - Valeurs et symétries
- Calculer \((-3)^2\), \((-3)^3\), \(|-3|\) et \(\sqrt{25}\).
- Préciser quelles fonctions sont paires ou impaires.
- En déduire les symétries de leurs courbes.
Afficher la correction
- \((-3)^2=(-3)\times(-3)=\boxed9\) ; \((-3)^3=9\times(-3)=\boxed{-27}\) ; \(|-3|=\boxed3\) ; \(\sqrt{25}=\boxed5\). La racine carrée désigne toujours le nombre positif ou nul dont le carré vaut 25.
- La fonction carré et la fonction valeur absolue sont paires : \((-x)^2=x^2\) et \(|-x|=|x|\). La fonction cube est impaire : \((-x)^3=-x^3\). La fonction racine carrée, définie sur \([0;+\infty[\), n’est ni paire ni impaire : son domaine n’est pas symétrique par rapport à 0. Parmi les autres fonctions du cours, la fonction inverse est impaire car \(1/(-x)=-1/x\) pour \(x\ne0\).
- Les courbes du carré et de la valeur absolue sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. Les courbes du cube et de l’inverse sont symétriques par rapport à l’origine. La courbe de la racine carrée ne possède aucune de ces deux symétries.
Exercice 4 - Équations et inéquations
Résoudre dans \(\mathbb R\) :
- \(x^2=16\) ;
- \(|x|=5\) ;
- \(x^2<4\) ;
- \(\dfrac1x>0\).
Afficher la correction
- \(x^2=16\) équivaut à \(x=-4\) ou \(x=4\). Ainsi, \(\boxed{S=\{-4;4\}}\).
- \(|x|=5\) signifie que x est à une distance 5 de 0 : \(x=-5\) ou \(x=5\). Donc \(\boxed{S=\{-5;5\}}\).
- \(x^2\lt4\) équivaut à \(|x|\lt2\), donc \(-2\lt x\lt2\). Ainsi, \(\boxed{S=]-2;2[}\). Les bornes sont exclues car l’inégalité est stricte.
- L’expression \(1/x\) est définie pour \(x\ne0\) et a le même signe que x. Elle est strictement positive exactement lorsque \(x\gt0\). Donc \(\boxed{S=]0;+\infty[}\).
Exercice 5 - Comparer
- Comparer \(2{,}7^2\) et \(3{,}1^2\) sans les calculer.
- Comparer \(\sqrt7\) et \(\sqrt{11}\).
- Comparer \(\dfrac12\) et \(\dfrac15\) grâce aux variations de la fonction inverse sur \(]0;+\infty[\).
Afficher la correction
- On a \(0\leq2{,}7\lt3{,}1\). La fonction carré est strictement croissante sur \([0;+\infty[\), donc \(\boxed{2{,}7^2\lt3{,}1^2}\).
- Comme \(7\lt11\) et que la fonction racine carrée est strictement croissante sur \([0;+\infty[\), \(\boxed{\sqrt7\lt\sqrt{11}}\).
- On a \(0\lt2\lt5\). La fonction inverse est strictement décroissante sur \(]0;+\infty[\) : l’ordre s’inverse, donc \(\boxed{\dfrac12\gt\dfrac15}\).
Vidéo
Vidéo explicative sur les fonctions de référence :
À retenir
Toujours commencer par déterminer l’ensemble de définition avant de calculer ou de résoudre.
Connaitre l’allure, le signe et les variations des courbes de référence permet de résoudre rapidement de nombreux problèmes.
Pour une résolution graphique, les valeurs lues sont généralement approchées ; une résolution algébrique donne des résultats exacts lorsqu’elle est possible.