1. Notion de fonction
Définition
Une fonction \(f\) associe à chaque réel \(x\) d’un ensemble \(D\) un unique réel, noté \(f(x)\). L’ensemble \(D\) est l’ensemble de définition de \(f\).
\(f:D\longrightarrow\mathbb R\)et\(x\longmapsto f(x)\).
Exemple
On considère la fonction affine \(f\) définie sur \([-2\,;2]\) par \(f(x)=2x+1\).
\[f(1)=2\times1+1=3 \qquad\text{et}\qquad f(0)=2\times0+1=1.\]
- \(3\) est l’image de \(1\) ;
- \(1\) est un antécédent de \(3\).
Quatre modes de représentation
- une expression algébrique ;
- un tableau de valeurs ;
- une courbe dans un repère ;
- un programme de calcul ou un algorithme.
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=2x+1\) | −3 | −1 | 1 | 3 | 5 |
2. Courbe représentative
Définition et appartenance d’un point
La courbe \(\mathcal C_f\) est l’ensemble des points \(M(x\,;f(x))\), pour \(x\in D\). Elle a pour équation \(y=f(x)\).
\[M(a\,;b)\in\mathcal C_f\quad\Longleftrightarrow\quad b=f(a).\]
La courbe de la fonction affine \(f(x)=2x+1\) est une droite. Le point \(A(1\,;3)\) lui appartient car \(f(1)=3\).
3. Lire et résoudre graphiquement
Lire l’image de \(a\)
- Partir de \(a\) sur l’axe des abscisses.
- Se déplacer verticalement jusqu’à la courbe.
- Lire l’ordonnée obtenue : c’est \(f(a)\).
Lire les antécédents de \(b\)
- Partir de \(b\) sur l’axe des ordonnées.
- Tracer la droite horizontale \(y=b\).
- Lire les abscisses de tous les points d’intersection.
Pour \(f(x)=2x+1\), l’antécédent de \(3\) est \(1\).
Équations et inéquations
- \(f(x)=k\) : abscisses des intersections de \(\mathcal C_f\) et \(y=k\) ;
- \(f(x)<k\) : abscisses des points où \(\mathcal C_f\) est sous \(y=k\) ;
- \(f(x)=g(x)\) : abscisses des intersections de \(\mathcal C_f\) et \(\mathcal C_g\) ;
- \(f(x)<g(x)\) : abscisses où \(\mathcal C_f\) est sous \(\mathcal C_g\).
4. Symétries : fonctions paires et impaires
Fonction paire
Si \(D\) est symétrique par rapport à \(0\) et si \(f(-x)=f(x)\), alors \(f\) est paire. Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Exemple : \(f(x)=x^2\).
Fonction impaire
Si \(D\) est symétrique par rapport à \(0\) et si \(f(-x)=-f(x)\), alors \(f\) est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine. Exemple : \(f(x)=x^3\).
5. Positions relatives de \(y=x\), \(y=x^2\) et \(y=x^3\)
- Si \(0\leq x\leq1\), alors \(0\leq x^3\leq x^2\leq x\leq1\).
- Si \(x\geq1\), alors \(1\leq x\leq x^2\leq x^3\).
La plus petite valeur correspond à la courbe située le plus bas.
Exercices d’entraînement
Exercice 1 — Images et antécédents
Soit \(f(x)=2x+1\) sur \([-2\,;2]\).
- Calculer \(f(-2)\), \(f(0)\) et \(f(1{,}5)\).
- Déterminer l’antécédent de \(5\).
- Le point \(B(-1\,;-1)\) appartient-il à \(\mathcal C_f\) ? Justifier.
Afficher la correction
- Les nombres −2, 0 et 1,5 appartiennent bien à l’ensemble de définition \([-2;2]\). On remplace x par chaque valeur : \(f(-2)=2\times(-2)+1=\boxed{-3}\), \(f(0)=2\times0+1=\boxed1\) et \(f(1{,}5)=2\times1{,}5+1=\boxed4\).
- On résout \(2x+1=5\), soit \(2x=4\), donc \(x=2\). Comme \(2\in[-2;2]\), l’unique antécédent de 5 est 2.
- L’abscisse −1 appartient au domaine. On calcule \(f(-1)=2\times(-1)+1=-1\), ce qui est l’ordonnée de B. Donc \(\boxed{B\in\mathcal C_f}\).
Exercice 2 — Lecture graphique
À l’aide de la droite du cours :
- lire l’image de \(1\) ;
- lire l’antécédent de \(3\) ;
- résoudre graphiquement \(f(x)\leq3\) sur \([-2\,;2]\).
Afficher la correction
- On part de l’abscisse 1, on monte verticalement jusqu’à la droite, puis on lit l’ordonnée 3 : \(\boxed{f(1)=3}\).
- La droite horizontale d’équation \(y=3\) coupe la courbe au point A, d’abscisse 1 : l’antécédent de 3 est 1.
- Sur le domaine \([-2;2]\), la courbe est sur ou sous la droite \(y=3\) pour les abscisses allant de −2 à 1. On inclut −2, borne du domaine, et 1, car l’égalité est autorisée. Ainsi, \(\boxed{S=[-2;1]}\). Vérification algébrique : \(2x+1\leq3\iff x\leq1\), puis on intersecte avec \([-2;2]\).
Exercice 3 — Deux fonctions
On considère \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=x\) sur \([0\,;2]\).
- Résoudre \(f(x)=g(x)\).
- Résoudre \(f(x)\leq g(x)\).
- Interpréter graphiquement les réponses.
Afficher la correction
- \(f(x)=g(x)\iff x^2=x\iff x^2-x=0\iff x(x-1)=0\). Un produit est nul si au moins un facteur est nul : \(x=0\) ou \(x=1\). Les deux nombres appartiennent à \([0;2]\), donc \(\boxed{S=\{0;1\}}\).
- \(f(x)\leq g(x)\iff x(x-1)\leq0\). Sur \([0;1]\), x est positif ou nul et x − 1 négatif ou nul : le produit est négatif ou nul. Sur \(]1;2]\), les deux facteurs sont strictement positifs. Donc \(\boxed{S=[0;1]}\).
- Les courbes se coupent en \(O(0;0)\) et \(A(1;1)\). Sur \([0;1]\), la parabole \(y=x^2\) est sur ou sous la droite \(y=x\). Sur \(]1;2]\), elle est strictement au-dessus. Les solutions de l’équation sont les abscisses des intersections, et non les points eux-mêmes.
Exercice 4 — Symétrie
Déterminer si les fonctions suivantes sont paires, impaires ou ni l’une ni l’autre : \(u(x)=x^2+3\), \(v(x)=x^3-2x\) et \(w(x)=x^2+x\).
Afficher la correction
Ces trois fonctions polynomiales sont définies sur \(\mathbb R\), un ensemble symétrique par rapport à 0. Les identités ci-dessous sont étudiées pour tout réel x.
- \(u(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=u(x)\). Donc u est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Elle n’est pas impaire puisque \(u(0)=3\ne0\).
- \(v(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x=-(x^3-2x)=-v(x)\). Donc v est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine. Elle n’est pas paire, car \(v(1)=-1\) et \(v(-1)=1\).
- \(w(-x)=x^2-x\). Pour exclure les deux parités, un contre-exemple suffit : \(w(1)=2\) et \(w(-1)=0\). Ainsi, \(w(-1)\ne w(1)\) et \(w(-1)\ne-w(1)\). Donc w n’est ni paire ni impaire.
Vidéo
Vidéo explicative sur la représentation graphique des fonctions :
À retenir
Image : on part de l’abscisse et on lit l’ordonnée.
Antécédent : on part de l’ordonnée et on lit une ou plusieurs abscisses.
Appartenance : \(M(a\,;b)\in\mathcal C_f\) exactement lorsque \(b=f(a)\).