1. Inégalités et inéquations
Définition
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. La résoudre consiste à déterminer toutes les valeurs de l’inconnue pour lesquelles l’inégalité est vraie.
Exemple : 2x + 3 ≥ 7. La valeur x = 4 est une solution car 2 × 4 + 3 = 11 et 11 ≥ 7.
Règle 1 - Ajouter ou soustraire
Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité ne change pas son sens.
Si A < B, alors A + C < B + C et A - C < B - C.
Si -2 ≤ x < 3, alors, en soustrayant 5 aux trois membres :
-7 ≤ x - 5 < -2.
Règle 2 - Multiplier ou diviser
- Par un nombre strictement positif, le sens ne change pas.
- Par un nombre strictement négatif, le sens de l’inégalité s’inverse.
Si A < B et C > 0, alors AC < BC.
Si A < B et C < 0, alors AC > BC.
Exemple avec un nombre négatif
Résoudre -3x ≤ 6.
On divise par -3. Comme ce nombre est négatif, on inverse le sens :
x ≥ -2.
Ensemble des solutions : S = [-2 ; +∞[.
Règle 3 - Additionner deux inégalités
On peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens :
si A < B et C < D, alors A + C < B + D.
Si x > -1 et y > 4, alors x + y > 3.
Attention : on ne peut pas, en général, soustraire membre à membre deux inégalités.
2. Résoudre une inéquation du premier degré
Méthode
- Développer et réduire si nécessaire.
- Regrouper les termes contenant x dans un même membre.
- Regrouper les nombres dans l’autre membre.
- Diviser par le coefficient de x, en inversant le sens s’il est négatif.
- Écrire l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.
Exemple détaillé
Résoudre 3x + 1 ≤ 12x - 4.
3x + 1 ≤ 12x - 4
1 ≤ 9x - 4
5 ≤ 9x
5/9 ≤ x
Donc x ≥ 5/9 et S = [5/9 ; +∞[.
Modéliser une situation
Une salle facture 30 € de réservation puis 8 € par participant. Le budget maximal est de 150 €. Si x désigne le nombre de participants :
30 + 8x ≤ 150, puis 8x ≤ 120, donc x ≤ 15.
La salle peut accueillir au maximum 15 participants avec ce budget.
3. Traduire les solutions par un intervalle
- x ≥ a se note [a ; +∞[ ;
- x > a se note ]a ; +∞[ ;
- x ≤ a se note ]-∞ ; a] ;
- x < a se note ]-∞ ; a[ ;
- a ≤ x < b se note [a ; b[.
Les symboles -∞ et +∞ ne sont jamais inclus : le crochet est toujours ouvert du côté de l’infini.
4. Signe d’une expression affine
Pour ax + b avec a ≠ 0, le changement de signe se produit pour x = -b/a.
- si a > 0, l’expression est négative avant la racine et positive après ;
- si a < 0, l’expression est positive avant la racine et négative après.
Exemple : signe de 2x + 4
2x + 4 = 0 équivaut à x = -2.
Comme le coefficient de x est positif, l’expression est négative sur ]-∞ ; -2[, nulle en -2, puis positive sur ]-2 ; +∞[.
5. Inéquations avec un produit ou un quotient
Méthode du tableau de signes
- Tout regrouper dans un même membre pour comparer l’expression à 0.
- Factoriser si nécessaire.
- Déterminer les zéros des facteurs et les valeurs interdites d’un quotient.
- Étudier le signe de chaque facteur, puis celui du produit ou du quotient.
- Sélectionner les intervalles correspondant au signe demandé.
Dans les tableaux ci-dessous, une barre verticale indique que la valeur de x placée sur la première ligne n’annule pas l’expression affine considérée. Le nombre 0 est écrit uniquement lorsque l’expression s’annule.
Exemple 1 - Signe d’un produit
Résoudre dans ℝ : (2x - 6)(-x - 2) ≤ 0.
Le facteur 2x - 6 s’annule pour x = 3 et le facteur -x - 2 s’annule pour x = -2. On range les valeurs critiques dans l’ordre : -2 < 3.
On cherche un produit négatif ou nul. On conserve les zones portant le signe moins et les deux valeurs qui annulent le produit.
S = ]-∞ ; -2] ∪ [3 ; +∞[.
Exemple 2 - Signe d’un quotient
Résoudre dans ℝ : (x + 1)/(2x - 4) ≥ 0.
Le numérateur s’annule pour x = -1. Le dénominateur s’annule pour x = 2 : cette valeur est interdite et apparaît avec une double barre dans le tableau.
On cherche un quotient positif ou nul. On inclut -1, qui annule seulement le numérateur, et on exclut 2, qui annule le dénominateur.
S = ]-∞ ; -1] ∪ ]2 ; +∞[.
Point essentiel : un zéro du numérateur peut être inclus lorsque le signe contient « égal à 0 ». Un zéro du dénominateur est toujours exclu.
6. Erreurs fréquentes
- oublier d’inverser le signe après une multiplication ou une division par un nombre négatif ;
- inclure une valeur qui annule le dénominateur ;
- confondre une inégalité stricte avec une inégalité large ;
- fermer un intervalle du côté de -∞ ou +∞ ;
- lire le signe d’un produit sans étudier chacun de ses facteurs.
Exercices d’entraînement
Exercice 1 - Automatismes
Résoudre et donner l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle :
- x + 3 ≥ 7
- 5x - 15 ≤ 0
- -2x < 6
- 3x + 1 ≤ 7x - 11
Afficher la correction
- On soustrait 3 : x ≥ 4. Donc S = [4 ; +∞[. La borne 4 est incluse.
- On ajoute 15 : 5x ≤ 15, puis on divise par 5, positif : x ≤ 3. Donc S = ]−∞ ; 3].
- On divise par −2, négatif : on inverse le sens, ce qui donne x > −3. Donc S = ]−3 ; +∞[. La borne −3 est exclue car l’inégalité est stricte.
- On soustrait 3x et on ajoute 11 : 12 ≤ 4x. En divisant par 4, on obtient x ≥ 3. Donc S = [3 ; +∞[.
Exercice 2 - Intervalles
Traduire par une ou plusieurs inégalités :
- [-3 ; 5]
- ]2 ; +∞[
- ]-∞ ; 4[
Afficher la correction
- x ∈ [−3 ; 5] équivaut à −3 ≤ x ≤ 5. Les deux bornes sont incluses.
- x ∈ ]2 ; +∞[ équivaut à x > 2. La borne 2 est exclue.
- x ∈ ]−∞ ; 4[ équivaut à x < 4. La borne 4 est exclue. L’infini n’est jamais une valeur incluse.
Exercice 3 - Produit et quotient
Résoudre à l’aide d’un tableau de signes :
- (2x - 6)(x + 1) ≥ 0
- (5 - x)(3x + 6) < 0
- (x - 4)/(2x + 2) ≤ 0
Afficher la correction
1. Produit positif ou nul
Les facteurs s’annulent en 3 et −1. Leurs coefficients directeurs sont positifs : chaque facteur est négatif avant son zéro et positif après.
On retient les zones positives et les deux zéros : S = ]−∞ ; −1] ∪ [3 ; +∞[.
2. Produit strictement négatif
Les facteurs s’annulent en 5 et −2. Le facteur 5 − x est positif avant 5, puis négatif. Le facteur 3x + 6 est négatif avant −2, puis positif.
On retient les zones négatives. L’inégalité est stricte : les zéros sont exclus. Donc S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]5 ; +∞[.
3. Quotient négatif ou nul
Le dénominateur s’annule en −1 : −1 est une valeur interdite. Le numérateur s’annule en 4. La double barre signale que le quotient n’est pas défini.
On retient la zone négative et le zéro du numérateur 4 ; −1 reste exclu. Donc S = ]−1 ; 4].
Exercice 4 - Problème
Un service coûte 18 € d’abonnement puis 6 € par utilisation. On dispose de 90 €. Modéliser la situation par une inéquation et déterminer le nombre maximal d’utilisations.
Afficher la correction
- On note n le nombre d’utilisations : n est un entier positif ou nul.
- Le coût total est 18 + 6n euros. Le budget impose 18 + 6n ≤ 90.
- On soustrait 18 : 6n ≤ 72. On divise par 6, positif : n ≤ 12. Les nombres possibles sont donc les entiers de 0 à 12.
- Pour 12 utilisations, 18 + 6 × 12 = 90 €. Pour 13 utilisations, le coût serait de 96 €, au-dessus du budget. Le maximum est donc 12 utilisations.
Vidéo
Ajoutez ici votre vidéo explicative sur les inéquations et les tableaux de signes.
À retenir
Quand tu multiplies ou divises par un nombre négatif, inverse toujours le sens de l’inégalité.
Pour un quotient, commence par déterminer les valeurs interdites : un dénominateur ne doit jamais être nul.
Vérifie ton résultat avec une valeur prise dans l’intervalle et une valeur prise en dehors.