1. Proportion et pourcentage
Définition
Une population contient N individus. Une sous-population contient n individus, avec 0 ≤ n ≤ N. Sa proportion dans la population totale est :
p = n / N
Une proportion est un nombre compris entre 0 et 1.
Exemple
Dans une classe de 30 élèves, 12 étudient l’allemand.
p = 12/30 = 0,4.
Comme 0,4 × 100 = 40, cette proportion correspond à 40 %.
Passer d’une écriture à l’autre
- proportion décimale vers pourcentage : multiplier par 100 ;
- pourcentage vers proportion décimale : diviser par 100.
0,18 = 18 % et 7 % = 7/100 = 0,07.
Calculer un effectif ou un effectif total
À partir de p = n/N, on obtient :
- n = p × N pour calculer l’effectif de la sous-population ;
- N = n/p lorsque p ≠ 0.
Exemple : 35 % de 240 élèves représentent 0,35 × 240 = 84 élèves.
2. Proportion de proportion
Propriété
Une population P₂ est incluse dans P₁, elle-même incluse dans P. Si p₁ est la proportion de P₁ dans P et p₂ celle de P₂ dans P₁, alors :
proportion de P₂ dans P = p₁ × p₂
Exemple - Pourcentage de pourcentage
Dans un lycée, 40 % des élèves étudient l’allemand. Parmi eux, 60 % sont des garçons.
0,40 × 0,60 = 0,24.
Les garçons étudiant l’allemand représentent donc 24 % de l’ensemble du lycée.
Attention : ici, on multiplie les proportions. On ne calcule ni 40 + 60, ni 60 % de différence.
3. Variation et taux d’évolution
Variation absolue
Une grandeur passe d’une valeur initiale Vᵢ à une valeur finale V𝒇.
variation absolue = V𝒇 - Vᵢ
La variation absolue s’exprime dans la même unité que la grandeur étudiée.
Taux d’évolution
Lorsque Vᵢ ≠ 0, le taux d’évolution est :
t = (V𝒇 - Vᵢ) / Vᵢ
- si t > 0, il s’agit d’une augmentation ;
- si t < 0, il s’agit d’une diminution.
Pour l’exprimer en pourcentage, on multiplie le taux décimal par 100.
Exemples
Une action passe de 50 € à 65 € : t = (65 - 50)/50 = 0,30, soit une hausse de 30 %.
Un ordinateur passe de 800 € à 600 € : t = (600 - 800)/800 = -0,25, soit une baisse de 25 %.
4. Coefficient multiplicateur
Relation entre taux et coefficient
Une évolution de taux décimal t correspond au coefficient multiplicateur :
CM = 1 + t
On dispose alors des relations :
V𝒇 = Vᵢ × CM et CM = V𝒇 / Vᵢ
Hausse ou baisse de r %
- augmenter de r % revient à multiplier par 1 + r/100 ;
- diminuer de r % revient à multiplier par 1 - r/100.
Exemples
Après une hausse de 5 %, un prix de 400 € devient 400 × 1,05 = 420 €.
Après une baisse de 3 %, un prix de 50 € devient 50 × 0,97 = 48,50 €.
5. Proportion ou évolution ?
Distinguer les deux situations
- Proportion : on compare une partie à un ensemble de référence au même instant.
- Évolution : on compare une valeur finale à une valeur initiale.
« 30 % des élèves prennent le bus » exprime une proportion. « Le nombre d’élèves prenant le bus a augmenté de 30 % » exprime une évolution.
6. Évolutions successives
Propriété
Le coefficient multiplicateur global de plusieurs évolutions successives est le produit des coefficients multiplicateurs associés à chaque évolution.
CM global = CM₁ × CM₂ × ...
Exemple 1 - Deux augmentations
Une hausse de 10 %, puis une hausse de 20 %, donnent :
1,10 × 1,20 = 1,32.
L’évolution globale est donc une hausse de 32 %, et non de 30 %.
Exemple 2 - Baisse puis hausse
Une baisse de 50 %, puis une hausse de 30 %, donnent :
0,50 × 1,30 = 0,65.
La valeur finale représente 65 % de la valeur initiale : la baisse globale est de 35 %.
7. Évolution réciproque
Définition et propriété
L’évolution réciproque ramène la valeur finale à la valeur initiale. Si l’évolution directe a pour coefficient CM ≠ 0, alors :
CM réciproque = 1 / CM
Si le taux direct est t, le taux réciproque vaut :
t' = 1/(1 + t) - 1
Exemple
Après une hausse de 15 %, le coefficient multiplicateur est 1,15.
CM réciproque = 1/1,15 ≈ 0,8696.
Il faut donc une baisse d’environ 13,04 % pour revenir à la valeur initiale.
Erreur fréquente : une hausse de 15 % n’est pas compensée par une baisse de 15 %, car les deux pourcentages ne s’appliquent pas à la même valeur de référence.
Exercices d’entraînement
Exercice 1 - Effectifs et proportions
Dans un lycée de 800 élèves, 320 prennent le bus.
- Calculer la proportion correspondante.
- L’exprimer en pourcentage.
- Parmi les élèves prenant le bus, 35 % habitent à plus de 10 km. Quel pourcentage du lycée représentent-ils ?
Afficher la correction
- La population de référence est l’ensemble des 800 élèves. La proportion d’élèves prenant le bus est p = 320/800 = 0,4.
- On multiplie la proportion décimale par 100 : 0,4 = 40 %.
- Les 35 % s’appliquent aux élèves prenant le bus, qui représentent 40 % du lycée. La proportion dans le lycée est donc 0,4 × 0,35 = 0,14, soit 14 %. Vérification : 0,35 × 320 = 112 élèves et 112/800 = 0,14.
Exercice 2 - Retrouver un effectif
- Calculer 18 % de 450.
- Dans un établissement, 126 élèves représentent 28 % de l’effectif total. Déterminer cet effectif.
Afficher la correction
- On convertit 18 % en 0,18 : 0,18 × 450 = 81.
- Notons N l’effectif total. On a 0,28 × N = 126, donc N = 126/0,28 = 450 élèves. Vérification : 0,28 × 450 = 126.
Exercice 3 - Taux d’évolution
Le prix d’un article passe de 40 € à 46 €.
- Calculer la variation absolue.
- Calculer le taux d’évolution.
- Donner le coefficient multiplicateur.
Afficher la correction
- La variation absolue est la valeur finale moins la valeur initiale : 46 − 40 = 6 €.
- On rapporte cette variation à la valeur initiale : t = (46 − 40)/40 = 6/40 = 0,15. Il s’agit d’une hausse de 15 %.
- Le coefficient multiplicateur est CM = 1 + 0,15 = 1,15. On retrouve 46/40 = 1,15 et 40 × 1,15 = 46 €.
Exercice 4 - Calculer une valeur finale
Un vêtement coûte 60 € et bénéficie d’une réduction de 15 %.
- Donner le coefficient multiplicateur.
- Calculer le prix soldé.
Afficher la correction
- Une réduction de 15 % correspond au taux −0,15, donc au coefficient CM = 1 − 0,15 = 0,85.
- Le prix soldé est 60 × 0,85 = 51 €. Vérification : la réduction vaut 60 × 0,15 = 9 €, et 60 − 9 = 51 €.
Exercice 5 - Évolutions successives
Une population augmente de 8 % la première année, puis de 5 % la deuxième année.
- Calculer le coefficient multiplicateur global.
- En déduire le taux d’évolution global.
- Expliquer pourquoi il n’est pas exactement égal à 13 %.
Afficher la correction
- Les coefficients sont 1,08 et 1,05. On les multiplie : CM global = 1,08 × 1,05 = 1,134.
- Le taux global est t = 1,134 − 1 = 0,134, soit une hausse de 13,4 %.
- La seconde hausse de 5 % s’applique à la population déjà augmentée de 8 %. On ne peut donc pas additionner directement les taux. En développant : (1 + 0,08)(1 + 0,05) = 1 + 0,08 + 0,05 + 0,004. Le terme supplémentaire 0,004 correspond à 0,4 point de pourcentage. Par exemple, une population initiale de 1 000 passe à 1 080, puis à 1 134.
Exercice 6 - Évolution réciproque
Après une baisse de 20 %, un article coûte 96 €.
- Retrouver son prix initial.
- Calculer le taux d’évolution permettant de passer de 96 € au prix initial.
Afficher la correction
- Une baisse de 20 % correspond au coefficient 0,8. Le prix initial P vérifie 0,8 × P = 96, donc P = 96/0,8 = 120 €. Vérification : 120 × 0,8 = 96 €.
- Pour revenir de 96 € à 120 €, le coefficient réciproque vaut 120/96 = 1,25 = 1/0,8. Le taux est donc 1,25 − 1 = 0,25, soit une hausse de 25 %. On retrouve (120 − 96)/96 = 24/96 = 0,25. Une hausse de 20 % ne suffirait pas : 96 × 1,20 = 115,20 €.
Vidéo
Ajoutez ici votre vidéo sur les proportions, les pourcentages et les évolutions.
À retenir
proportion = partie / total ; une proportion de proportion se calcule par un produit.
t = (V𝒇 - Vᵢ)/Vᵢ et CM = 1 + t = V𝒇/Vᵢ.
Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients. Pour l’évolution réciproque, on prend l’inverse du coefficient.