Cours
1. Les intervalles de ℝ
Un intervalle est un ensemble de nombres réels vérifiant une ou deux inégalités. Il se représente par une partie continue de la droite réelle.
ℝ = ]−∞ ; +∞[.
2. Intervalles bornés
| Condition sur x | Intervalle | Bornes |
|---|---|---|
| a ≤ x ≤ b | [a ; b] | a et b incluses |
| a < x < b | ]a ; b[ | a et b exclues |
| a ≤ x < b | [a ; b[ | a incluse, b exclue |
| a < x ≤ b | ]a ; b] | a exclue, b incluse |
Lecture des crochets : une borne est incluse lorsque l’inégalité comporte ≤ ou ≥ ; elle est exclue lorsque l’inégalité comporte < ou >.
Exemple : ]−1 ; 3]
]−1 ; 3] est l’ensemble des réels x tels que −1 < x ≤ 3.
Donc −1 ∉ ]−1 ; 3] et 3 ∈ ]−1 ; 3].
Lecture graphique : la partie bleue représente tous les nombres compris entre −1 et 3. Le crochet est ouvert en −1 et fermé en 3.
3. Intervalles non bornés
| Condition | Intervalle | Lecture |
|---|---|---|
| x ≥ a | [a ; +∞[ | réels supérieurs ou égaux à a |
| x > a | ]a ; +∞[ | réels strictement supérieurs à a |
| x ≤ a | ]−∞ ; a] | réels inférieurs ou égaux à a |
| x < a | ]−∞ ; a[ | réels strictement inférieurs à a |
Attention : +∞ et −∞ ne sont pas des nombres réels. Ils ne peuvent jamais être inclus : le crochet est toujours ouvert du côté de l’infini.
4. Passer d’une inégalité à un intervalle
- Repérer la ou les bornes.
- Déterminer si chaque borne est incluse ou exclue.
- Écrire les crochets et vérifier le côté de l’infini.
- Contrôler la traduction sur une droite graduée.
−2 ≤ x < 5 ⇔ x ∈ [−2 ; 5[
x > 3 ⇔ x ∈ ]3 ; +∞[
x ≤ −1 ⇔ x ∈ ]−∞ ; −1]
5. Passer d’un intervalle à une inégalité
x ∈ ]−4 ; 2] ⇔ −4 < x ≤ 2
x ∈ [1 ; +∞[ ⇔ x ≥ 1
x ∈ ]−∞ ; 7[ ⇔ x < 7
6. Tester une appartenance
Pour savoir si un réel appartient à un intervalle, on vérifie l’inégalité correspondante.
2 ∈ [−1 ; 2], car −1 ≤ 2 ≤ 2 ; mais 2 ∉ [−1 ; 2[, car la borne 2 est exclue.
À ne pas confondre : un nombre appartient à un intervalle (∈), tandis qu’un intervalle est inclus dans ℝ (⊂).
7. Intersection et réunion d’intervalles
Soient les intervalles A = [−3 ; 2] et B = [0 ; 5[.
Intersection
L’intersection de A et B, notée A ∩ B, contient les nombres qui appartiennent à la fois à A et à B.
La partie commune aux deux intervalles va de 0 à 2, bornes comprises :
A ∩ B = [0 ; 2].
Réunion
La réunion de A et B, notée A ∪ B, contient les nombres qui appartiennent à A ou à B, éventuellement aux deux.
Comme les deux intervalles se recouvrent, leur réunion forme un seul intervalle :
A ∪ B = [−3 ; 5[.
À retenir :
∩ signifie « et » : on conserve uniquement la partie commune.
∪ signifie « ou » : on rassemble toutes les valeurs des deux intervalles.
Exemple avec deux intervalles disjoints
Si C = [−4 ; −2] et D = [1 ; 3], alors C et D n’ont aucune valeur commune.
C ∩ D = ∅ et C ∪ D = [−4 ; −2] ∪ [1 ; 3].
Dans ce cas, la réunion ne peut pas s’écrire sous la forme d’un seul intervalle.
8. Valeur absolue et distance
La valeur absolue d’un réel a, notée |a|, est sa distance à 0 sur la droite réelle.
|5| = 5 ; |−3| = 3 ; |0| = 0.
La distance entre deux réels a et b est |a − b|, et |a − b| = |b − a|.
Exemple : la distance entre −3 et 5 vaut |5 − (−3)| = 8.
9. Caractériser un intervalle par une distance
Pour r ≥ 0 :
|x − a| ≤ r ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r ⇔ x ∈ [a − r ; a + r]
L’intervalle [a − r ; a + r] a pour centre a, pour rayon r et pour amplitude 2r.
Exemple
|x − 2| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x − 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 6.
L’ensemble des solutions est [−2 ; 6] : centre 2, rayon 4, amplitude 8.
Exercices d'entrainement
Exercice 1 — Traduire
- Écrire sous forme d’intervalle : −3 ≤ x < 4.
- Écrire sous forme d’intervalle : x > 5.
- Écrire sous forme d’inégalité : x ∈ ]−2 ; 7].
- Écrire sous forme d’inégalité : x ∈ ]−∞ ; 6[.
Afficher la correction
- x ∈ [−3 ; 4[. Le symbole ≤ inclut −3 : crochet fermé. Le symbole < exclut 4 : crochet ouvert.
- x ∈ ]5 ; +∞[. La borne 5 est exclue car l’inégalité est stricte. Du côté de l’infini, le crochet est toujours ouvert.
- −2 < x ≤ 7. La borne −2 est exclue et la borne 7 est incluse.
- x < 6. L’intervalle contient tous les réels strictement inférieurs à 6 ; il n’impose aucune borne inférieure finie.
Exercice 2 — Appartenance
Compléter par ∈ ou ∉ :
- 5 … ]1 ; 5]
- 1 … ]1 ; 5]
- −2 … [−2 ; 3[
- 3 … [−2 ; 3[
Afficher la correction
- 5 ∈ ]1 ; 5] : le crochet fermé en 5 indique que cette borne est incluse.
- 1 ∉ ]1 ; 5] : le crochet ouvert en 1 exclut cette borne.
- −2 ∈ [−2 ; 3[ : le crochet fermé en −2 inclut cette borne.
- 3 ∉ [−2 ; 3[ : le crochet ouvert en 3 exclut cette borne.
Exercice 3 — Distance et intervalle
- Calculer |−7| puis la distance entre −2 et 5.
- Résoudre |x − 3| ≤ 2 et donner l’intervalle obtenu.
- Donner le centre, le rayon et l’amplitude de [−4 ; 8].
Afficher la correction
- |−7| = 7. La valeur absolue mesure la distance à zéro. La distance entre −2 et 5 vaut |5 − (−2)| = |7| = 7.
- |x − 3| ≤ 2 signifie que x est à une distance au plus égale à 2 de 3. Ainsi −2 ≤ x − 3 ≤ 2. En ajoutant 3 aux trois membres : 1 ≤ x ≤ 5. L’ensemble des solutions est donc [1 ; 5].
- Pour [−4 ; 8], le centre est (−4 + 8)/2 = 2. Le rayon vaut (8 − (−4))/2 = 6. L’amplitude vaut 8 − (−4) = 12.
Exercice 4 — Intersection et réunion
On considère I = [−2 ; 4] et J = ]1 ; 6[.
- Déterminer I ∩ J.
- Déterminer I ∪ J.
- Représenter les deux résultats sur une droite graduée.
Afficher la correction
- I ∩ J = ]1 ; 4]. L’intersection contient les nombres appartenant aux deux intervalles. Ils sont strictement supérieurs à 1 et inférieurs ou égaux à 4. La borne 1 est exclue par J ; la borne 4 appartient aux deux intervalles.
- I ∪ J = [−2 ; 6[. La réunion contient les nombres appartenant à au moins un des intervalles. Les deux intervalles se recouvrent : il n’y a pas de trou. La borne −2 est incluse par I et la borne 6 est exclue des deux intervalles.
- Sur les droites ci-dessous, un point plein marque une borne incluse et un point vide une borne exclue. Le segment coloré représente l’ensemble des solutions.
Vidéo
Vidéo explicative sur les intervalles :
À retenir
≤ ou ≥ : la borne est incluse. < ou > : la borne est exclue.
Du côté de +∞ ou −∞, le crochet est toujours ouvert.
∩ correspond à la partie commune ; ∪ rassemble les valeurs des deux intervalles.
|x − a| se lit comme la distance entre x et a.