1. Le dé comporte six faces : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. On a A = {2 ; 4 ; 6}, B = {4 ; 5 ; 6} et l’événement contraire de A = {1 ; 3 ; 5}.
2. L’intersection contient les issues communes : A ∩ B = {4 ; 6}. La réunion rassemble les issues appartenant à au moins un des deux événements : A ∪ B = {2 ; 4 ; 5 ; 6}.
3. Le dé est équilibré : les six issues sont équiprobables. Donc P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3 et P(A ∪ B) = 4/6 = 2/3. On a aussi P(A) = P(B) = 3/6 = 1/2 et P(événement contraire de A) = 1/2.

1. Chaque probabilité est comprise entre 0 et 1 et leur somme vaut 0,50 + 0,35 + 0,15 = 1. Il s’agit donc d’une loi de probabilité.
2. « Gagner au moins 2 € » signifie gagner 2 € ou 5 €. Ces issues sont distinctes : P(gain ≥ 2 €) = 0,35 + 0,15 = 0,50, soit 50 %. On retrouve 1 − P(gain = 0 €) = 1 − 0,50 = 0,50.

1. La probabilité de l’événement contraire est 1 − P(A) = 1 − 0,55 = 0,45.
2. On utilise la formule de la réunion : P(A ∪ B) = 0,55 + 0,40 − 0,20 = 0,75. On soustrait l’intersection pour éviter de compter deux fois les situations où A et B se réalisent simultanément.

1. Chaque élève a la même probabilité d’être choisi. On rapporte les effectifs au total de 200 élèves : P(B) = 80/200 = 0,40, P(R) = 30/200 = 0,15 et P(B ∩ R) = 20/200 = 0,10.
2. Parmi les 80 élèves prenant le bus, 20 sont en retard : P_B(R) = 20/80 = 0,25. Parmi les 30 élèves en retard, 20 prennent le bus : P_R(B) = 20/30 = 2/3 ≈ 0,667.
3. Sur l’ensemble des élèves, 40 % prennent le bus, 15 % sont en retard et 10 % cumulent ces deux caractéristiques. Parmi ceux qui prennent le bus, 25 % sont en retard ; parmi ceux qui sont en retard, environ 66,7 % prennent le bus. Les deux probabilités conditionnelles utilisent des populations de référence différentes.

1. Au premier niveau de l’arbre, on place S avec la probabilité 0,70 et son contraire avec la probabilité 0,30. À partir de S, on place V avec P_S(V) = 0,20 et son contraire avec 0,80. L’énoncé ne donne pas la probabilité d’utiliser le vélo parmi les salariés ne travaillant pas sur site : les poids correspondants restent inconnus.
2. On multiplie les probabilités le long du chemin S puis V : P(S ∩ V) = P(S) × P_S(V) = 0,70 × 0,20 = 0,14.
3. 14 % de l’ensemble des salariés travaillent sur site et utilisent le vélo. Il s’agit d’une intersection. Les données ne permettent pas, sans information supplémentaire, de calculer P(V) pour l’ensemble des salariés.

Voici une simulation Python : 1 représente pile et 0 représente face. La fonction doit être appelée avec un entier n strictement positif.

from random import randint

def frequence_pile(n):
    compteur = 0
    for _ in range(n):
        if randint(0, 1) == 1:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

for n in (100, 1000):
    frequence = frequence_pile(n)
    ecart = abs(frequence - 0.5)
    print(n, frequence, ecart)

Chaque appel simule un nouvel échantillon. La fonction renvoie le nombre de piles divisé par le nombre de lancers. Le programme affiche la taille, la fréquence obtenue et l’écart à 0,5.

Les valeurs numériques varient à chaque exécution. Pour 1 000 lancers, la fréquence est généralement plus proche de 0,5 que pour 100 lancers, mais ce n’est pas garanti pour deux échantillons particuliers. Une fréquence différente de 0,5 n’invalide pas le modèle de la pièce équilibrée. Répéter les simulations permet de mieux observer la stabilisation.