Cours
1. Puissances entières positives
Pour un entier n ≥ 1 :
aⁿ = a × a × ... × a, avec n facteurs égaux à a.
Cas particuliers : a¹ = a, 1ⁿ = 1 et 0ⁿ = 0 pour n ≥ 1.
Exemples
2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
(−3)³ = (−3) × (−3) × (−3) = −27
2. Exposant nul et exposant négatif
Pour a ≠ 0 et n ≥ 1 :
a⁰ = 1 et a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Attention : 0⁰ n'est pas défini dans ce cours. Une puissance d'exposant négatif impose une base non nulle.
3. Règles de calcul
Pour a ≠ 0, b ≠ 0 et m, n ∈ ℤ :
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
Exemples corrigés
2³ × 2⁻⁵ = 2⁻² = 1/4
3⁷/3⁴ = 3³ = 27
(5⁻²)³ = 5⁻⁶ = 1/5⁶
4³ × (4²)⁻⁵ = 4³ × 4⁻¹⁰ = 4⁻⁷
Même exposant : 2⁵ × 3⁵ = (2 × 3)⁵ = 6⁵.
En revanche, 2³ + 2⁴ ne devient pas 2⁷ : les règles de puissances concernent les produits et les quotients, pas les sommes.
4. Signe d'une puissance
- une puissance paire d'un nombre négatif est positive : (−3)⁴ = 81 ;
- une puissance impaire d'un nombre négatif est négative : (−3)³ = −27.
5. Puissances de 10
Pour n ≥ 1 :
10ⁿ s'écrit avec un 1 suivi de n zéros.
10⁻ⁿ = 1/10ⁿ
Exemples
10⁴ = 10 000
10⁻³ = 0,001
6. Écriture scientifique
Tout nombre décimal non nul s'écrit de manière unique sous la forme a × 10ᵖ, où 1 ≤ |a| < 10 et p ∈ ℤ.
Cette écriture est appelée écriture scientifique.
Exemples
53 200 = 5,32 × 10⁴
0,000407 = 4,07 × 10⁻⁴
7. Calculer en écriture scientifique
- regrouper les nombres décimaux et les puissances de 10 ;
- utiliser les règles de calcul sur les puissances ;
- ajuster le coefficient pour que 1 ≤ |a| < 10.
Exemple corrigé
[(6 × 10⁵)(3 × 10⁻⁸)]/(9 × 10⁻²)
= (18/9) × 10⁵⁻⁸⁺²
= 2 × 10⁻¹
8. Ordre de grandeur
L'écriture scientifique permet d'estimer rapidement un résultat et de détecter une éventuelle erreur de puissance de 10.
(3,1 × 10⁶)(1,9 × 10⁻³) ≈ (3 × 2) × 10³ = 6 × 10³
Erreur fréquente : 12,4 × 10³ n'est pas une écriture scientifique, car 12,4 ≥ 10. On écrit 1,24 × 10⁴.
Exercices d'entrainement
Exercice 1 — Définition
Écrire sous la forme d'une puissance puis calculer :
- 2 × 2 × 2 × 2 × 2
- (−3) × (−3) × (−3) × (−3)
- 10 × 10 × 10
Afficher la correction
On compte les facteurs identiques pour déterminer l’exposant.
- Le facteur 2 apparaît cinq fois : 2⁵ = 32.
- Le facteur −3 apparaît quatre fois : (−3)⁴ = 9 × 9 = 81. L’exposant est pair, donc le résultat est positif.
- Le facteur 10 apparaît trois fois : 10³ = 1 000.
Exercice 2 — Exposants relatifs
Écrire sous forme fractionnaire puis calculer :
- 2⁻³
- 5⁻²
- 10⁻⁴
Afficher la correction
Un exposant négatif donne l’inverse de la puissance correspondante.
- 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125.
- 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04.
- 10⁻⁴ = 1/10⁴ = 1/10 000 = 0,0001. Un exposant négatif ne signifie pas que le résultat est négatif.
Exercice 3 — Même base
Simplifier sous la forme d'une seule puissance :
- 3⁵ × 3⁻²
- 7⁴/7⁹
- (2⁻³)⁴
Afficher la correction
Pour une même base, on additionne les exposants dans un produit et on les soustrait dans un quotient. Pour une puissance de puissance, on les multiplie.
- 3⁵ × 3⁻² = 3⁵⁺⁽⁻²⁾ = 3³.
- 7⁴/7⁹ = 7⁴⁻⁹ = 7⁻⁵.
- (2⁻³)⁴ = 2⁽⁻³⁾×⁴ = 2⁻¹².
Exercice 4 — Produits et quotients
Simplifier :
- 2⁶ × 5⁶
- 12⁴/3⁴
- (3/5)⁻²
Afficher la correction
Des puissances de même exposant se regroupent en une puissance du produit ou du quotient.
- 2⁶ × 5⁶ = (2 × 5)⁶ = 10⁶ = 1 000 000.
- 12⁴/3⁴ = (12/3)⁴ = 4⁴ = 256.
- (3/5)⁻² = (5/3)² = 25/9. L’exposant négatif conduit à inverser la fraction, puis à l’élever au carré.
Exercice 5 — Signes et parenthèses
Calculer en justifiant le signe :
- (−2)⁶
- (−2)⁵
- −2⁶
- −(−2)⁵
Afficher la correction
Les parenthèses indiquent si le signe moins appartient à la base. Sans parenthèses, la puissance est prioritaire sur le signe moins placé devant.
- (−2)⁶ = 64 : la base est négative et l’exposant est pair.
- (−2)⁵ = −32 : la base est négative et l’exposant est impair.
- −2⁶ = −(2⁶) = −64 : le signe moins est à l’extérieur de la puissance.
- −(−2)⁵ = −(−32) = 32 : on prend l’opposé de −32.
Exercice 6 — Écriture scientifique
Écrire en notation scientifique :
- 684 000
- 0,000052
- −73,4
Afficher la correction
On déplace la virgule pour obtenir un coefficient dont la valeur absolue est comprise entre 1 inclus et 10 exclu.
- 684 000 = 6,84 × 10⁵. La virgule est déplacée de cinq rangs vers la gauche ; on compense par 10⁵.
- 0,000052 = 5,2 × 10⁻⁵. La virgule est déplacée de cinq rangs vers la droite ; on compense par 10⁻⁵.
- −73,4 = −7,34 × 10¹. Le signe négatif est conservé et |−7,34| = 7,34.
Exercice 7 — Calcul scientifique
Calculer et donner le résultat en écriture scientifique :
- (4 × 10⁷)(3 × 10⁻⁴)
- (8 × 10⁻³)/(2 × 10⁵)
- (6 × 10⁴)²
Afficher la correction
On calcule séparément les coefficients et les puissances de 10, puis on ajuste le coefficient.
- (4 × 10⁷)(3 × 10⁻⁴) = 12 × 10³ = 1,2 × 10⁴. On additionne les exposants : 7 + (−4) = 3.
- (8 × 10⁻³)/(2 × 10⁵) = 4 × 10⁻⁸. On divise les coefficients et on soustrait les exposants : −3 − 5 = −8.
- (6 × 10⁴)² = 6² × 10⁸ = 36 × 10⁸ = 3,6 × 10⁹. Le carré porte à la fois sur le coefficient et sur la puissance de 10.
Exercice 8 — Ordre de grandeur
- Estimer l'ordre de grandeur de (4,9 × 10⁸)(2,1 × 10⁻³).
- Une calculatrice affiche 1,029 × 10¹². Dire si cet affichage est cohérent avec l'estimation.
Afficher la correction
On estime d’abord le résultat avant de vérifier l’affichage proposé.
- En arrondissant 4,9 à 5 et 2,1 à 2, on obtient (5 × 10⁸)(2 × 10⁻³) = 10 × 10⁵ = 10⁶. Le résultat attendu est donc proche d’un million.
- Le calcul exact donne (4,9 × 2,1) × 10⁵ = 10,29 × 10⁵ = 1,029 × 10⁶. L’affichage 1,029 × 10¹² est incohérent : il est un million de fois trop grand. Il faut vérifier la saisie et les exposants.
Vidéo
Vidéo explicative sur les puissances et l'écriture scientifique :
À retenir
Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants.
Pour diviser des puissances de même base, on soustrait les exposants.
Une écriture scientifique a la forme a × 10ᵖ avec 1 ≤ |a| < 10.