Cours
1. Définition
Pour tout réel a ≥ 0, la racine carrée de a, notée √a, est l'unique réel positif ou nul dont le carré vaut a.
√a ≥ 0 et (√a)² = a.
Dans l'ensemble des nombres réels, √a est définie uniquement lorsque a ≥ 0.
Exemples
√49 = 7, car 7² = 49.
√0 = 0 et √(25/9) = 5/3.
√(−4) n'est pas définie dans ℝ.
2. La relation fondamentale
Pour tout réel a :
√(a²) = |a|
La racine carrée désigne toujours un nombre positif ou nul. Il faut donc prendre la valeur absolue de a.
Exemples
√(7²) = 7
√((−7)²) = 7
√((x − 3)²) = |x − 3|
À ne pas confondre : (√a)² = a pour a ≥ 0, tandis que √(a²) = |a| pour tout réel a.
3. Produit et quotient de racines
Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 :
√(ab) = √a × √b
Pour a ≥ 0 et b > 0 :
√(a/b) = √a/√b
Attention : en général, √(a + b) ≠ √a + √b.
Par exemple, √(9 + 16) = 5, alors que √9 + √16 = 7.
4. Pourquoi la formule du produit est-elle vraie ?
Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, les nombres √(ab) et √a × √b sont positifs ou nuls.
(√a × √b)² = (√a)² × (√b)² = ab
Par unicité de la racine carrée positive de ab, on obtient √(ab) = √a × √b.
5. Extraire un carré parfait
Pour simplifier √n :
- écrire n = a²b, avec le plus grand carré parfait possible ;
- utiliser √(a²b) = √(a²) × √b = a√b lorsque a ≥ 0 ;
- vérifier que b ne contient plus de facteur carré.
Exemples
√72 = √(36 × 2) = 6√2
√180 = √(36 × 5) = 6√5
3√50 − 2√8 = 3 × 5√2 − 2 × 2√2 = 11√2
6. Effectuer des calculs exacts
On additionne ou soustrait seulement des termes comportant la même racine simplifiée.
4√3 + 7√3 = 11√3
√2 + √3 ne se réduit pas.
Pour un produit : (2√5)(3√10) = 6√50 = 30√2.
7. Valeur exacte et valeur approchée
L'écriture 3√5 est exacte. Une calculatrice donne 3√5 ≈ 6,708. Le symbole = ne doit pas remplacer ≈.
Contrôle rapide : une racine carrée est positive ou nulle. Si 0 ≤ a < b, alors √a < √b.
Comme 49 < 53 < 64, on a 7 < √53 < 8.
8. Résoudre une équation de la forme x² = a
- si a < 0, l'équation n'a aucune solution réelle ;
- si a = 0, l'unique solution est x = 0 ;
- si a > 0, les solutions sont x = −√a et x = √a.
Exemples
x² = 25 donne x = −5 ou x = 5.
x² = 7 donne x = −√7 ou x = √7.
x² = −3 n'a aucune solution réelle.
Exercices d'entrainement
Exercice 1 — Définition et existence
Calculer lorsque l'écriture est définie dans ℝ :
- √81
- √0
- √(−16)
- √(49/25)
Afficher la correction
- √81 = 9, car 9 ≥ 0 et 9² = 81. La racine carrée est toujours positive ou nulle.
- √0 = 0, car 0² = 0.
- √(−16) n’est pas définie dans ℝ. Le carré d’un réel ne peut pas être négatif.
- Le numérateur est positif et le dénominateur strictement positif : √(49/25) = √49/√25 = 7/5.
Exercice 2 — Racine d'un carré
Simplifier :
- √(12²)
- √((−9)²)
- √((x + 4)²)
- √((2x − 1)²)
Afficher la correction
- √(12²) = |12| = 12.
- √((−9)²) = |−9| = 9. La racine carrée ne vaut pas −9.
- √((x + 4)²) = |x + 4|. Cela vaut x + 4 si x ≥ −4, et −x − 4 si x < −4.
- √((2x − 1)²) = |2x − 1|. Cela vaut 2x − 1 si x ≥ 1/2, et 1 − 2x si x < 1/2.
Exercice 3 — Produit et quotient
Calculer ou simplifier :
- √3 × √12
- √(16 × 5)
- √(100/9)
- √75/√3
Afficher la correction
- Les radicandes sont positifs : √3 × √12 = √36 = 6.
- √(16 × 5) = √16 × √5 = 4√5.
- √(100/9) = √100/√9 = 10/3.
- Comme √3 ≠ 0 : √75/√3 = √(75/3) = √25 = 5.
Exercice 4 — Extraire un carré parfait
Écrire sous la forme a√b, avec b le plus petit possible :
- √8
- √45
- √98
- √200
Afficher la correction
- √8 = √(4 × 2) = 2√2.
- √45 = √(9 × 5) = 3√5.
- √98 = √(49 × 2) = 7√2.
- √200 = √(100 × 2) = 10√2. Dans chaque cas, on a extrait le plus grand facteur carré parfait.
Exercice 5 — Réduire
Simplifier puis réduire :
- √20 + √45
- 3√12 − √27
- 2√50 + 5√8
Afficher la correction
- √20 + √45 = 2√5 + 3√5 = 5√5. On additionne les coefficients des mêmes racines.
- 3√12 − √27 = 3 × 2√3 − 3√3 = 6√3 − 3√3 = 3√3.
- 2√50 + 5√8 = 2 × 5√2 + 5 × 2√2 = 10√2 + 10√2 = 20√2.
Exercice 6 — Produits
Calculer et donner une valeur exacte simplifiée :
- (2√3)(5√6)
- (3√2)²
- (√5 + 2)(√5 − 2)
Afficher la correction
- (2√3)(5√6) = 10√18 = 10 × 3√2 = 30√2.
- (3√2)² = 3² × (√2)² = 9 × 2 = 18.
- Avec (a + b)(a − b) = a² − b² : (√5 + 2)(√5 − 2) = 5 − 4 = 1.
Exercice 7 — Exact ou approché ?
- Donner la valeur exacte de 2√7.
- En donner une valeur approchée au centième.
- Encadrer √30 entre deux entiers consécutifs.
Afficher la correction
- La valeur exacte est 2√7. Le nombre 7 ne contient aucun facteur carré parfait supérieur à 1 : on ne simplifie pas davantage cette écriture.
- 2√7 ≈ 5,29 au centième, car 2√7 = 5,291502… Le symbole ≈ distingue l’arrondi de la valeur exacte.
- Comme 5² = 25 < 30 < 36 = 6², on obtient 5 < √30 < 6.
Exercice 8 — Équations
Résoudre dans ℝ :
- x² = 36
- x² = 11
- x² = 0
- x² = −5
Afficher la correction
- x² = 36 admet deux solutions : x = −6 ou x = 6. Donc S = {−6 ; 6}.
- x² = 11 admet deux solutions : x = −√11 ou x = √11. Donc S = {−√11 ; √11}.
- x² = 0 admet une seule solution : x = 0. Donc S = {0}.
- x² = −5 n’admet aucune solution réelle, car un carré est toujours positif ou nul. Donc S = ∅.
Vidéo
Vidéo explicative sur les racines carrées :
À retenir
(√a)² = a pour a ≥ 0.
√(a²) = |a| pour tout réel a.
Pour simplifier une racine, extrais le plus grand carré parfait possible. Pour additionner, commence toujours par simplifier les racines.