1. Vocabulaire et organisation des données
- La population est l’ensemble étudié et un individu est un élément de cette population.
- Le caractère, ou variable, est la propriété observée. Il peut être qualitatif ou quantitatif.
- L’effectif d’une valeur est son nombre d’apparitions. La somme des effectifs est l’effectif total N.
- La fréquence d’une valeur est fᵢ = nᵢ/N. La somme des fréquences vaut 1.
Exemple : notes d’un groupe
| Note xᵢ | 8 | 10 | 12 | 14 | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif nᵢ | 2 | 3 | 4 | 1 | 10 |
| Fréquence fᵢ | 0,20 | 0,30 | 0,40 | 0,10 | 1 |
2. Moyenne et moyenne pondérée
Pour une série de N valeurs :
Lorsque la valeur xᵢ a pour effectif nᵢ :
Application
x̄ = (2×8 + 3×10 + 4×12 + 1×14)/10 = 108/10 = 10,8.
Linéarité de la moyenne
Si chaque valeur xᵢ devient axᵢ+b, la nouvelle moyenne est ax̄+b.
Exemple : une série de moyenne 12 à laquelle on ajoute 2 à chaque valeur a pour nouvelle moyenne 14.
3. Médiane, quartiles et étendue
Médiane
Après avoir rangé les valeurs dans l’ordre croissant, la médiane partage la série en deux groupes de même effectif.
- Si N=2p+1, elle est la valeur de rang p+1.
- Si N=2p, on prend généralement la moyenne des valeurs de rangs p et p+1.
Quartiles
Q₁ est la valeur de rang ⌈N/4⌉ et Q₃ celle de rang ⌈3N/4⌉. Le symbole ⌈x⌉ désigne l’entier immédiatement supérieur ou égal à x.
Indicateurs de dispersion
Étendue = maximum - minimum
Écart interquartile = Q₃-Q₁. Il mesure la dispersion des 50 % de valeurs centrales.
Exemple complet
Série ordonnée : 4 ; 7 ; 9 ; 9 ; 10 ; 12 ; 13 ; 15.
- Me=(9+10)/2=9,5 ;
- Q₁=7 (rang 2) et Q₃=12 (rang 6) ;
- écart interquartile : 12-7=5 ;
- étendue : 15-4=11.
4. Variance et écart-type
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
L’écart-type est la racine carrée de la variance :
L’écart-type s’exprime dans la même unité que les données. Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
La moyenne et l’écart-type sont sensibles aux valeurs extrêmes. La médiane et l’écart interquartile le sont généralement moins.
5. Ajouter ou supprimer une valeur
Pour prévoir l’évolution de la moyenne, compare la valeur ajoutée ou supprimée à la moyenne initiale.
- Ajouter une valeur supérieure à la moyenne la fait augmenter.
- Ajouter une valeur inférieure à la moyenne la fait diminuer.
- Ajouter une valeur égale à la moyenne ne la modifie pas.
Une série de 10 valeurs a pour moyenne 12. Sa somme vaut 10×12=120. En ajoutant 18 :
nouvelle moyenne = (120+18)/11 ≈ 12,55.
6. Série regroupée en classes
Pour une variable continue, on peut regrouper les valeurs en intervalles de même amplitude. Si la répartition est supposée uniforme dans chaque classe, on représente la classe par son centre pour estimer la moyenne.
Exemple : durées d’un trajet
| Durée (min) | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ | [30 ; 40[ | [40 ; 50[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Centre | 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| Effectif | 2 | 6 | 10 | 7 | 5 |
| Effectif cumulé | 2 | 8 | 18 | 25 | 30 |
Moyenne estimée :
x̄ ≈ (2×5+6×15+10×25+7×35+5×45)/30 ≈ 27,33 min.
Comme N/2=15, la 15e valeur appartient à [20 ; 30[ : c’est la classe médiane.
En supposant une répartition uniforme dans cette classe, on peut estimer la médiane par interpolation :
Me ≈ 20 + [(15-8)/10]×10 = 27 min.
Les fréquences cumulées peuvent aussi être représentées par un polygone des fréquences cumulées, qui permet de lire graphiquement une médiane approchée.
Dans un histogramme, l’aire des rectangles est proportionnelle à l’effectif ou à la fréquence. Avec des classes de même amplitude, on peut comparer directement leurs hauteurs.
7. Comparer deux séries
On associe un indicateur de position à un indicateur de dispersion :
Moyenne et écart-type
Adaptés pour étudier les valeurs autour de la moyenne.
Médiane et écart interquartile
Utiles lorsque des valeurs extrêmes risquent de déformer l’analyse.
Deux classes ont une moyenne de 12. La classe A a un écart-type de 1,8 et la classe B de 3,4. Les résultats de la classe A sont plus homogènes, même si les moyennes sont identiques.
Méthode : étudier une série
- Identifier la population, le caractère et l’effectif total.
- Ordonner les valeurs ou construire un tableau d’effectifs.
- Choisir les indicateurs adaptés à la question.
- Effectuer les calculs en gardant les unités.
- Interpréter les résultats dans le contexte.
Exercices d’entraînement
Exercice 1 - Effectifs et fréquences
Série : 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 10 ; 10 ; 10 ; 12.
- Donner l’effectif total.
- Construire le tableau des effectifs et des fréquences.
Afficher la correction
- La série comporte N = 8 valeurs, en comptant les répétitions.
- Chaque fréquence est l’effectif de la valeur divisé par 8.
| Valeur | 5 | 7 | 8 | 10 | 12 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 1 | 2 | 1 | 3 | 1 | 8 |
| Fréquence | 0,125 | 0,25 | 0,125 | 0,375 | 0,125 | 1 |
Vérification : les effectifs ont pour somme 8 et les fréquences ont pour somme 1. Par exemple, la valeur 10 apparaît trois fois : sa fréquence est 3/8 = 0,375, soit 37,5 %.
Exercice 2 - Indicateurs
Série : 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 11 ; 14 ; 16.
- Calculer la moyenne et la médiane.
- Déterminer Q₁, Q₃, l’écart interquartile et l’étendue.
Afficher la correction
- La somme des huit valeurs est 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 11 + 14 + 16 = 72. Donc la moyenne est 72/8 = 9. La série est déjà ordonnée. Comme N = 8, on prend la moyenne des valeurs de rangs 4 et 5 : la médiane est (8 + 9)/2 = 8,5.
- Le premier quartile est la valeur de rang ⌈8/4⌉ = 2 : Q₁ = 5. Le troisième quartile est la valeur de rang ⌈3 × 8/4⌉ = 6 : Q₃ = 11. L’écart interquartile vaut 11 − 5 = 6. L’étendue vaut 16 − 3 = 13.
On distingue les rangs des observations et les valeurs situées à ces rangs.
Exercice 3 - Moyenne pondérée
Les notes 8, 10, 12, 14 et 16 ont pour effectifs 2, 4, 5, 3 et 1. Calculer la moyenne.
Afficher la correction
L’effectif total est N = 2 + 4 + 5 + 3 + 1 = 15.
On pondère chaque note par son effectif : x̄ = (2 × 8 + 4 × 10 + 5 × 12 + 3 × 14 + 1 × 16)/15.
Le numérateur vaut 16 + 40 + 60 + 42 + 16 = 174. Donc x̄ = 174/15 = 11,6.
Ce n’est pas la moyenne simple des cinq notes distinctes : leurs effectifs sont différents.
Exercice 4 - Transformation
Une série a pour moyenne 15. Chaque valeur est multipliée par 1,2 puis diminuée de 3. Déterminer la nouvelle moyenne.
Afficher la correction
Par linéarité, lorsque chaque valeur x devient 1,2x − 3, la moyenne devient elle aussi 1,2x̄ − 3.
La nouvelle moyenne est donc 1,2 × 15 − 3 = 18 − 3 = 15.
Elle est ici égale à la moyenne initiale, même si les valeurs individuelles peuvent avoir changé. On respecte l’ordre des opérations : multiplication, puis soustraction.
Exercice 5 - Séries regroupées
Reprendre le tableau des durées.
- Vérifier la moyenne estimée.
- Déterminer la classe médiane.
- Calculer les fréquences cumulées.
Afficher la correction
- On utilise les centres de classes 5, 15, 25, 35 et 45 minutes, avec les effectifs 2, 6, 10, 7 et 5. L’effectif total est 30. La somme pondérée vaut 2 × 5 + 6 × 15 + 10 × 25 + 7 × 35 + 5 × 45 = 820. La moyenne estimée est donc 820/30 ≈ 27,33 minutes. Elle est approchée, car les durées individuelles ne sont pas connues.
- Les effectifs cumulés sont 2, 8, 18, 25 et 30. Les observations de rangs 15 et 16 appartiennent toutes deux à [20 ; 30[ : c’est la classe médiane. La médiane exacte ne peut pas être déduite des seules classes.
- On divise les effectifs cumulés par 30 pour obtenir les fréquences cumulées croissantes.
| Classe (min) | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ | [30 ; 40[ | [40 ; 50[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif cumulé | 2 | 8 | 18 | 25 | 30 |
| Fréquence cumulée exacte | 2/30 | 8/30 | 18/30 | 25/30 | 30/30 |
| Fréquence cumulée approchée | 0,0667 | 0,2667 | 0,60 | 0,8333 | 1 |
Par exemple, 18/30 = 60 % des trajets durent strictement moins de 30 minutes. La dernière fréquence cumulée vaut 1, soit 100 %.
Exercice 6 - Comparaison
A : x̄=11,5 et σ=1,2 ; B : x̄=12 et σ=3,1. Comparer leur niveau moyen et leur dispersion.
Afficher la correction
Niveau moyen : B a une moyenne de 12 contre 11,5 pour A. Sa moyenne est donc supérieure de 0,5 unité.
Dispersion : l’écart-type de B est 3,1 contre 1,2 pour A. Les valeurs de B sont donc davantage dispersées autour de leur moyenne ; celles de A sont plus homogènes selon cet indicateur.
B présente ainsi une moyenne plus élevée, mais des résultats moins homogènes. Ces seuls indicateurs ne permettent pas d’affirmer que chaque valeur de B dépasse chaque valeur de A, ni de comparer leurs médianes ou leurs étendues.
Vidéo
Ajoutez ici votre vidéo sur les indicateurs statistiques et les séries regroupées en classes.
À retenir
Pour la médiane et les quartiles, commence toujours par ordonner la série.
La moyenne pondérée tient compte des effectifs ; l’écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne.
Pour comparer deux séries, utilise un couple cohérent : moyenne-écart-type ou médiane-écart interquartile.