1. Projeté orthogonal et distance à une droite
Soient un point A et une droite d. Le projeté orthogonal de A sur d est le point H de d tel que (AH) ⟂ d.
La distance du point A à la droite d est la longueur AH. C’est la plus courte distance entre A et un point de d.
Tangente à un cercle
Si H est le projeté orthogonal de A sur d, alors la droite d est tangente en H au cercle de centre A et de rayon AH.
2. Hauteur d’un triangle
Dans un triangle ABC, la hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire à (BC). Son pied H est le projeté orthogonal de A sur (BC).
Approfondissement : les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes. Leur point de concours est l’orthocentre.
3. Repérer les côtés d’un triangle rectangle
- L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est le plus long côté.
- Le côté adjacent à un angle aigu touche cet angle, sans être l’hypoténuse.
- Le côté opposé à un angle aigu ne touche pas cet angle.
4. Cosinus, sinus et tangente
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu x :
Cosinus
cos(x) = adjacent / hypoténuse
Sinus
sin(x) = opposé / hypoténuse
Tangente
tan(x) = opposé / adjacent
Moyen mnémotechnique : SOH - CAH - TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.
| Côtés connus ou cherchés | Rapport adapté |
|---|---|
| Adjacent et hypoténuse | Cosinus |
| Opposé et hypoténuse | Sinus |
| Opposé et adjacent | Tangente |
5. Calculer une longueur ou un angle
Exemple 1 : calculer une longueur
Dans le triangle ABC rectangle en A, on connaît AC=6 cm et Ĉ=40°. On cherche AB, côté opposé à l’angle Ĉ.
tan(40°)=AB/AC=AB/6
AB=6×tan(40°)≈5,0 cm.
Exemple 2 : calculer un angle
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle x mesure 7 cm et le côté adjacent 10 cm.
tan(x)=7/10=0,7
x=tan⁻¹(0,7)≈35°.
La calculatrice doit être réglée en mode degrés.
Méthode
- Repérer l’angle droit et l’hypoténuse.
- Nommer les côtés opposé et adjacent par rapport à l’angle étudié.
- Choisir cosinus, sinus ou tangente.
- Écrire l’égalité avant de remplacer par les valeurs.
- Calculer, arrondir raisonnablement et indiquer l’unité.
6. Relation fondamentale
Pour tout angle aigu x :
Cette relation permet de calculer le sinus connaissant le cosinus, ou inversement.
Démonstration dans un triangle rectangle
Avec les notations de la figure précédente :
cos(x)=CA/CB et sin(x)=AB/CB.
cos²(x)+sin²(x)=(CA²+AB²)/CB².
D’après le théorème de Pythagore, CA²+AB²=CB². Ainsi :
cos²(x)+sin²(x)=CB²/CB²=1.
7. Erreurs fréquentes
- confondre le côté adjacent et l’hypoténuse ;
- nommer les côtés sans préciser l’angle étudié ;
- utiliser une relation trigonométrique dans un triangle non rectangle ;
- oublier le mode degrés de la calculatrice ;
- arrondir trop tôt au cours du calcul ;
- écrire cos(x)+sin(x)=1 au lieu de cos²(x)+sin²(x)=1.
Exercices d’entraînement
Exercice 1 - Projeté orthogonal
Tracer une droite d et un point A extérieur à d. Construire le projeté orthogonal H et expliquer pourquoi AH représente la distance de A à d.
Afficher la correction
- À l’aide d’une équerre, on trace la droite passant par A et perpendiculaire à d.
- On appelle H son point d’intersection avec d. Ainsi H appartient à d et (AH) est perpendiculaire à d : H est le projeté orthogonal de A sur d.
- Pour tout point M de d différent de H, le triangle AHM est rectangle en H. D’après Pythagore, AM² = AH² + HM². Comme HM² > 0, on a AM > AH.
La longueur AH est donc la plus courte distance entre A et un point de d : c’est la distance de A à d.
Exercice 2 - Vocabulaire
Dans un triangle RST rectangle en R, nommer l’hypoténuse et, par rapport à l’angle Ŝ, les côtés opposé et adjacent.
Afficher la correction
- L’angle droit est en R : le côté opposé à cet angle est l’hypoténuse ST.
- Par rapport à l’angle Ŝ, le côté qui ne touche pas S est le côté opposé RT.
- Le côté qui touche S sans être l’hypoténuse est le côté adjacent SR.
On peut donc écrire : cos(Ŝ) = SR/ST, sin(Ŝ) = RT/ST et tan(Ŝ) = RT/SR.
Exercice 3 - Longueur avec le cosinus
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 12 cm et un angle aigu 35°. Calculer la longueur du côté adjacent à cet angle.
Afficher la correction
On cherche le côté adjacent et on connaît l’hypoténuse : on utilise le cosinus.
En notant a la longueur cherchée en centimètres, cos(35°) = a/12, donc a = 12 × cos(35°).
En mode degrés, on obtient a ≈ 9,8298 cm. Au dixième près, a ≈ 9,8 cm.
Le résultat est cohérent : ce côté est plus court que l’hypoténuse de 12 cm. On conserve les chiffres de la calculatrice jusqu’à l’arrondi final.
Exercice 4 - Longueur avec le sinus
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 15 cm et un angle aigu 52°. Calculer la longueur du côté opposé.
Afficher la correction
On cherche le côté opposé et on connaît l’hypoténuse : on utilise le sinus.
En notant b la longueur cherchée en centimètres, sin(52°) = b/15, donc b = 15 × sin(52°).
En mode degrés, on obtient b ≈ 11,8202 cm. Au dixième près, b ≈ 11,8 cm.
Cette longueur est bien inférieure à 15 cm, longueur de l’hypoténuse.
Exercice 5 - Calcul d’un angle
Les côtés opposé et adjacent à un angle aigu mesurent respectivement 8 cm et 11 cm. Déterminer cet angle au degré près.
Afficher la correction
Les deux côtés connus sont le côté opposé et le côté adjacent : on utilise la tangente.
Si x désigne l’angle cherché, tan(x) = 8/11.
Avec la fonction arctan (ou tan⁻¹) de la calculatrice, réglée en degrés : x = arctan(8/11) ≈ 36,0274°.
Au degré près, x ≈ 36°. On saisit directement 8/11 sans arrondir ce quotient. La fonction tan⁻¹ désigne ici la fonction réciproque de la tangente, et non l’inverse 1/tan.
Exercice 6 - Relation fondamentale
On sait que cos(x)=0,6 pour un angle aigu x. Calculer sin(x).
Afficher la correction
On utilise la relation fondamentale : cos²(x) + sin²(x) = 1.
Comme cos(x) = 0,6, on obtient sin²(x) = 1 − 0,6² = 1 − 0,36 = 0,64.
L’angle x est aigu : son sinus est strictement positif. On retient donc la racine positive : sin(x) = √0,64 = 0,8.
Vérification : 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1. La valeur sin(x) = 0,8 est exacte.
Vidéo
Ajoutez ici votre vidéo sur la trigonométrie dans le triangle rectangle.
À retenir
L’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit.
Choisis le rapport trigonométrique à partir des deux côtés concernés : SOH - CAH - TOA.
Pour un angle aigu : cos²(x)+sin²(x)=1.