1. Sens de variation d’une fonction
Définitions
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). Pour tous réels \(a,b\in I\) tels que \(a<b\) :
- \(f\) est croissante sur \(I\) si \(f(a)\leq f(b)\) : elle conserve l’ordre ;
- \(f\) est décroissante sur \(I\) si \(f(a)\geq f(b)\) : elle inverse l’ordre ;
- \(f\) est constante sur \(I\) si \(f(a)=f(b)\).
Une fonction est monotone sur un intervalle lorsqu’elle y est croissante ou décroissante.
Exemple graphique
On considère sur \([0\,;5]\) la fonction \(f(x)=-(x-2{,}5)^2+6{,}25\).
\(f\) est croissante sur \([0\,;2{,}5]\), puis décroissante sur \([2{,}5\,;5]\).
2. Maximum, minimum et extremum
Définitions
Soit \(a\in I\).
- \(f\) admet un maximum en \(a\) sur \(I\) si, pour tout \(x\in I\), \(f(x)\leq f(a)\) ;
- \(f\) admet un minimum en \(a\) sur \(I\) si, pour tout \(x\in I\), \(f(x)\geq f(a)\).
Un maximum ou un minimum est un extremum. Il faut distinguer la valeur de l’extremum, \(f(a)\), et l’endroit où il est atteint, \(x=a\).
Exemple
Sur \([0\,;5]\), la fonction précédente admet le maximum \(6{,}25\), atteint pour \(x=2{,}5\), car :
\[\forall x\in[0\,;5],\qquad f(x)\leq f(2{,}5)=6{,}25.\]
Une fonction n’admet pas nécessairement d’extremum sur un intervalle, notamment si une borne est exclue.
3. Tableau de variations
Un tableau de variations résume les intervalles de monotonie et les valeurs importantes de la fonction.
Lecture : quand \(x\) va de \(0\) à \(2{,}5\), \(f(x)\) monte de \(0\) à \(6{,}25\). Elle redescend ensuite jusqu’à \(0\).
Méthode : construire un tableau
- Repérer l’ensemble de définition.
- Découper cet ensemble aux abscisses où le sens de variation change.
- Calculer ou lire les images aux bornes et aux changements de variation.
- Tracer une flèche montante ou descendante sur chaque intervalle.
4. Taux d’accroissement et fonctions affines
Taux d’accroissement
Pour \(a,b\in I\) avec \(a<b\), le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est :
\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]
Il est égal au coefficient directeur de la droite passant par \(A(a\,;f(a))\) et \(B(b\,;f(b))\).
Exemple
Pour \(g(x)=x^2+1\), entre \(1\) et \(3\) :
\[\frac{g(3)-g(1)}{3-1}=\frac{10-2}{2}=4.\]
Variations d’une fonction affine
Pour \(f(x)=mx+p\), le taux d’accroissement est toujours \(m\). Ainsi :
- si \(m>0\), \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\) ;
- si \(m<0\), elle est strictement décroissante ;
- si \(m=0\), elle est constante.
5. Variations des fonctions usuelles
Fonction valeur absolue
\(x\mapsto |x|\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;0]\), puis strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\). Son minimum sur \(\mathbb R\) est \(0\), atteint pour \(x=0\).
Fonction carré
\(x\mapsto x^2\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;0]\), puis strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\). Son minimum sur \(\mathbb R\) est \(0\), atteint en \(0\).
Fonction racine carrée
\(x\mapsto\sqrt{x}\) est strictement croissante sur son ensemble de définition \([0\,;+\infty[\).
Fonction cube
\(x\mapsto x^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Fonction inverse
\(x\mapsto\dfrac1x\) est strictement décroissante sur chacun des intervalles \(]-\infty\,;0[\) et \(]0\,;+\infty[\).
6. Comparer des images et résoudre un problème
Comparer \(f(a)\) et \(f(b)\)
- Vérifier que \(a\) et \(b\) appartiennent au même intervalle de monotonie.
- Comparer \(a\) et \(b\).
- Conserver l’ordre si la fonction est croissante ; l’inverser si elle est décroissante.
Optimisation
Dans un problème concret, on traduit la situation par une fonction, on précise l’intervalle admissible, puis on utilise son tableau de variations pour déterminer une valeur maximale ou minimale et l’endroit où elle est atteinte.
Exercices d’entraînement
Exercice 1 — Fonction affine
Déterminer les variations de \(f(x)=-3x+5\) sur \(\mathbb R\), puis comparer \(f(-2)\) et \(f(4)\) sans les calculer.
Afficher la correction
La fonction f est affine, de coefficient directeur \(-3\). Comme \(-3\lt0\), elle est strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
On a \(-2\lt4\). Une fonction strictement décroissante inverse strictement l’ordre : \(\boxed{f(-2)\gt f(4)}\). Il n’est pas nécessaire de calculer ces images.
Exercice 2 — Tableau de variations
Une fonction \(g\) est croissante sur \([-4\,;1]\), puis décroissante sur \([1\,;6]\). On sait que \(g(-4)=-2\), \(g(1)=5\) et \(g(6)=0\). Construire son tableau de variations et donner son maximum.
Afficher la correction
On place les abscisses −4, 1 et 6 dans l’ordre, puis leurs images. La flèche monte sur [−4 ; 1] et descend sur [1 ; 6].
Sur \([-4;1]\), \(g(x)\leq5\). Sur \([1;6]\), on a également \(g(x)\leq5\). Le maximum de g sur [−4 ; 6] est donc 5, atteint pour x = 1.
Les variations données ne sont pas strictes : on ne peut pas affirmer que 1 est la seule abscisse où ce maximum est atteint.
Exercice 3 — Fonctions de référence
Comparer sans calculatrice : \((-3{,}2)^2\) et \((-2{,}7)^2\), puis \(\sqrt{7}\) et \(\sqrt{11}\).
Afficher la correction
- Les nombres vérifient \(-3{,}2\lt-2{,}7\leq0\). La fonction carré est strictement décroissante sur \(]-\infty;0]\) : elle inverse l’ordre. Donc \(\boxed{(-3{,}2)^2\gt(-2{,}7)^2}\).
- On a \(0\leq7\lt11\). La fonction racine carrée est strictement croissante sur \([0;+\infty[\), donc \(\boxed{\sqrt7\lt\sqrt{11}}\).
Exercice 4 — Taux d’accroissement
Calculer le taux d’accroissement de \(h(x)=x^2-2x\) entre \(1\) et \(4\).
Afficher la correction
On calcule les images : \(h(1)=1^2-2\times1=-1\) et \(h(4)=4^2-2\times4=8\).
Le taux d’accroissement entre 1 et 4 vaut donc \(\dfrac{h(4)-h(1)}{4-1}=\dfrac{8-(-1)}3=\dfrac93=\boxed3\).
Il s’agit du coefficient directeur de la droite passant par les points de la courbe d’abscisses 1 et 4. Ce calcul entre deux points ne suffit pas à établir les variations sur tout un intervalle.
Exercice 5 — Optimisation
Un rectangle a un périmètre de \(20\) cm. Si un côté mesure \(x\) cm, exprimer son aire en fonction de \(x\), préciser l’intervalle d’étude, puis déterminer l’aire maximale à l’aide des variations.
Afficher la correction
- Modéliser : si l’autre côté mesure y cm, le périmètre impose \(2(x+y)=20\), donc \(y=10-x\). L’aire en cm² est \(\boxed{A(x)=x(10-x)=10x-x^2}\).
- Domaine : les deux côtés d’un rectangle non aplati sont strictement positifs : \(x\gt0\) et \(10-x\gt0\). L’intervalle admissible est donc \(\boxed{]0;10[}\).
- Variations : on écrit \(A(x)=25-(x-5)^2\). Sur ]0 ; 5], x − 5 est négatif ou nul : son carré décroît, donc A croît strictement. Sur [5 ; 10[, le carré de x − 5 croît, donc A décroît strictement.
Pour lire les valeurs aux extrémités, on peut prolonger la formule à [0 ; 10] :
Les abscisses 0 et 10 du tableau correspondent à des rectangles aplatis et sont exclues du problème. Le maximum, lui, est bien atteint pour \(x=5\), qui appartient au domaine.
L’aire maximale est 25 cm², obtenue pour un rectangle de côtés 5 cm et 5 cm, donc un carré. Vérification : \(2(5+5)=20\) cm et \(5\times5=25\) cm².
Vidéo
Vidéo explicative sur les variations et les extremums :
À retenir
Croissante : les images conservent l’ordre. Décroissante : elles inversent l’ordre.
Extremum : toujours préciser sa valeur, l’abscisse où il est atteint et l’intervalle étudié.
Fonction affine : le signe du coefficient directeur donne immédiatement le sens de variation.