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Seconde — Vecteurs et coordonnées

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Vecteurs et coordonnées

Apprends à calculer avec les coordonnées des vecteurs, puis utilise la norme, le déterminant et la colinéarité pour résoudre des problèmes de géométrie repérée.

Cours Exercices Vidéo À retenir

Cours

1. Décomposer un vecteur dans une base

Si \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) ne sont pas colinéaires, ils forment une base du plan. Tout vecteur \(\vec{u}\) s’écrit alors de manière unique :

\[\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}.\]

Le couple \((x\,;\,y)\) constitue les coordonnées de \(\vec{u}\) dans cette base. Le vecteur nul a pour coordonnées \((0\,;\,0)\).

2. Coordonnées d’un vecteur

Dans un repère \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\), dire que \(\vec{u}\) a pour coordonnées \((x\,;\,y)\) signifie :

\[\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}.\]

Le nombre \(x\) est la composante horizontale et \(y\) la composante verticale. Le signe de chaque coordonnée indique le sens du déplacement.

Représentation de deux vecteurs dans un repère Le vecteur u a pour coordonnées trois et deux, le vecteur v a pour coordonnées moins deux et trois. O x y u (3 ; 2) v (-2 ; 3)
Les coordonnées indiquent le déplacement horizontal puis le déplacement vertical.

3. Coordonnées du vecteur AB

Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors :

\[\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A).\]

À retenir : on calcule toujours « arrivée moins départ ».

Exemple — calculer les coordonnées d’un vecteur

Pour \(A(-1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,-2)\) :

\[\overrightarrow{AB}(4-(-1)\,;\,-2-2), \qquad\text{donc}\qquad \overrightarrow{AB}(5\,;\,-4).\]

Inversement, \(\overrightarrow{BA}(-5\,;\,4)\) et \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).

4. Calculer avec les coordonnées

Si \(\vec{u}(x\,;\,y)\), \(\vec{v}(x'\,;\,y')\) et \(k\in\mathbb{R}\), alors :

  • \((\vec{u}+\vec{v})(x+x'\,;\,y+y')\) ;
  • \((\vec{u}-\vec{v})(x-x'\,;\,y-y')\) ;
  • \((k\vec{u})(kx\,;\,ky)\).

Exemple — opérations sur les vecteurs

Avec \(\vec{u}(3\,;\,-1)\) et \(\vec{v}(-2\,;\,4)\) :

\[(\vec{u}+\vec{v})(1\,;\,3),\qquad (2\vec{u})(6\,;\,-2),\qquad (2\vec{u}-\vec{v})(8\,;\,-6).\]

5. Norme d’un vecteur et distance

Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}(x\,;\,y)\), alors :

\[\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}.\]

Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), la distance \(AB\) vaut :

\[AB=\|\overrightarrow{AB}\| =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.\]

Distance entre deux points et théorème de Pythagore Le segment AB est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés mesurent la différence des abscisses et la différence des ordonnées. A B xB − xA yB − yA AB
La formule de la distance résulte du théorème de Pythagore.

Exemple — calculer une distance

Pour \(A(-1\,;\,2)\) et \(B(3\,;\,5)\) :

\[AB=\sqrt{(3+1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=5.\]

6. Coordonnées du milieu

Le milieu \(I\) du segment \([AB]\) a pour coordonnées :

\[I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right).\]

Cette propriété se traduit aussi par :

\[I\text{ milieu de }[AB] \iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}.\]

Pour une origine \(O\), on a également \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}\).

Exemple — calculer un milieu

Si \(A(-2\,;\,1)\) et \(B(4\,;\,7)\), alors :

\[I\left(\frac{-2+4}{2}\,;\,\frac{1+7}{2}\right)=(1\,;\,4).\]

7. Déterminant et critère de colinéarité

Pour \(\vec{u}(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}(x'\,;\,y')\), on définit :

\[\det(\vec{u},\vec{v})=xy'-yx'.\]

Le déterminant fournit un critère simple :

\[\vec{u}\text{ et }\vec{v}\text{ sont colinéaires} \iff \det(\vec{u},\vec{v})=0.\]

Le calcul du déterminant est particulièrement utile lorsqu’une coordonnée est nulle, car il évite les divisions.

Exemple — tester la colinéarité

Pour \(\vec{u}(2\,;\,-1)\) et \(\vec{v}(-6\,;\,3)\) :

\[\det(\vec{u},\vec{v})=2\times3-(-1)\times(-6)=0.\]

Les deux vecteurs sont donc colinéaires. On peut aussi remarquer que \(\vec{v}=-3\vec{u}\).

8. Démontrer un alignement

  1. Calculer deux vecteurs de même origine, par exemple \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  2. Calculer leur déterminant.
  3. S’il est nul, les vecteurs sont colinéaires et les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Trois points alignés Les vecteurs AB et AC sont colinéaires et les points A, B et C sont alignés. A B C
Si \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\), alors \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

Exemple — prouver un alignement

Pour \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,5)\) et \(C(5\,;\,8)\) :

\[\overrightarrow{AB}(2\,;\,3),\qquad \overrightarrow{AC}(4\,;\,6).\] \[\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =2\times6-3\times4=0.\]

Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

9. Démontrer un parallélisme

  1. Choisir un vecteur directeur de chaque droite.
  2. Calculer le déterminant de ces deux vecteurs.
  3. S’il est nul, les vecteurs sont colinéaires et les droites sont parallèles.
Deux droites parallèles Les vecteurs AB et CD sont colinéaires, donc les droites AB et CD sont parallèles. A B C D
Si \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=0\), alors \((AB)\parallel(CD)\).

Exemple — prouver un parallélisme

Pour \(A(0\,;\,1)\), \(B(2\,;\,4)\), \(C(-1\,;\,0)\) et \(D(3\,;\,6)\) :

\[\overrightarrow{AB}(2\,;\,3),\qquad \overrightarrow{CD}(4\,;\,6).\]

Leur déterminant est nul ; les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont donc parallèles.

10. Reconnaître un parallélogramme

Pour démontrer que \(ABCD\) est un parallélogramme, on peut établir l’un des critères suivants :

  • \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) ;
  • les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu ;
  • \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).

Exemple — reconnaître un parallélogramme

Pour \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,1)\), \(D(1\,;\,3)\) et \(C(5\,;\,4)\) :

\[\overrightarrow{AB}(4\,;\,1) \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{DC}(4\,;\,1).\]

Donc \(ABCD\) est un parallélogramme.

Exercices d'entrainement

Exercice 1 — Coordonnées d’un vecteur

On donne \(A(-3\,;\,2)\), \(B(2\,;\,-1)\) et \(C(5\,;\,4)\).

  1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
  2. Vérifier la relation de Chasles.
Afficher la correction

On applique « arrivée moins départ » à chaque coordonnée.

  1. Pour \(\overrightarrow{AB}\), on calcule \(2-(-3)=5\) et \(-1-2=-3\) : ses coordonnées sont \(\boxed{(5\,;-3)}\). Pour \(\overrightarrow{AC}\), \(5-(-3)=8\) et \(4-2=2\) : ses coordonnées sont \(\boxed{(8\,;2)}\). Pour \(\overrightarrow{BC}\), \(5-2=3\) et \(4-(-1)=5\) : ses coordonnées sont \(\boxed{(3\,;5)}\).
  2. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) a pour coordonnées \((5+3\,;-3+5)\), soit \((8\,;2)\). Ce sont celles de \(\overrightarrow{AC}\). On vérifie donc \(\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}}\).

Exercice 2 — Opérations

Soient \(\vec{u}(4\,;\,-3)\) et \(\vec{v}(-2\,;\,5)\).

  1. Calculer \(\vec{u}+\vec{v}\) et \(\vec{u}-\vec{v}\).
  2. Calculer \(3\vec{u}-2\vec{v}\).
Afficher la correction

Les opérations s’effectuent coordonnée par coordonnée.

  1. Le vecteur \(\vec u+\vec v\) a pour coordonnées \((4+(-2)\,;-3+5)\), soit \(\boxed{(2\,;2)}\). Le vecteur \(\vec u-\vec v\) a pour coordonnées \((4-(-2)\,;-3-5)\), soit \(\boxed{(6\,;-8)}\).
  2. Le vecteur \(3\vec u\) a pour coordonnées \((12\,;-9)\), et \(2\vec v\) a pour coordonnées \((-4\,;10)\). Ainsi, \(3\vec u-2\vec v\) a pour coordonnées \((12-(-4)\,;-9-10)\), soit \(\boxed{(16\,;-19)}\).

Exercice 3 — Norme et distance

  1. Calculer la norme du vecteur \(\vec{w}(-5\,;\,12)\).
  2. Calculer la distance entre \(E(-2\,;\,1)\) et \(F(4\,;\,9)\).
Afficher la correction

On se place dans un repère orthonormé, condition nécessaire pour utiliser ces formules.

  1. \(\|\vec w\|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=\boxed{13}\).
  2. Le vecteur \(\overrightarrow{EF}\) a pour coordonnées \((4-(-2)\,;9-1)\), soit \((6\,;8)\). Donc \(EF=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=\boxed{10}\).

Ces résultats sont exacts et s’expriment dans l’unité de longueur du repère.

Exercice 4 — Milieu

On donne \(A(-4\,;\,3)\) et \(B(6\,;\,-5)\).

  1. Calculer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).
  2. Vérifier par le calcul que \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\).
Afficher la correction
  1. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités : \(x_I=\dfrac{-4+6}{2}=1\) et \(y_I=\dfrac{3+(-5)}2=-1\). Le milieu est donc \(\boxed{I(1\,;-1)}\).
  2. Le vecteur \(\overrightarrow{AI}\) a pour coordonnées \((1-(-4)\,;-1-3)\), soit \((5\,;-4)\). Le vecteur \(\overrightarrow{IB}\) a pour coordonnées \((6-1\,;-5-(-1))\), soit également \((5\,;-4)\). Donc \(\boxed{\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}}\), ce qui confirme que I est le milieu de [AB].

Exercice 5 — Déterminant

Calculer chaque déterminant et conclure sur la colinéarité :

  1. \(\vec{u}(3\,;\,2)\) et \(\vec{v}(-6\,;\,-4)\) ;
  2. \(\vec{a}(1\,;\,5)\) et \(\vec{b}(3\,;\,14)\).
Afficher la correction

Pour deux vecteurs de coordonnées \((x\,;y)\) et \((x'\,;y')\), on calcule \(xy'-yx'\).

  1. \(\det(\vec u,\vec v)=3\times(-4)-2\times(-6)=-12+12=\boxed0\). Les vecteurs sont colinéaires. On retrouve \(\vec v=-2\vec u\).
  2. \(\det(\vec a,\vec b)=1\times14-5\times3=14-15=\boxed{-1}\). Ce déterminant n’est pas nul : les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Exercice 6 — Alignement

Les points \(A(-1\,;\,2)\), \(B(2\,;\,5)\) et \(C(5\,;\,8)\) sont-ils alignés ? Justifier avec un déterminant.

Afficher la correction

On choisit deux vecteurs de même origine :

  • \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((2-(-1)\,;5-2)\), soit \((3\,;3)\) ;
  • \(\overrightarrow{AC}\) a pour coordonnées \((5-(-1)\,;8-2)\), soit \((6\,;6)\).

Leur déterminant vaut \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=3\times6-3\times6=0\).

Les vecteurs sont colinéaires : A, B et C sont alignés. On peut également remarquer que \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\) : B est le milieu de [AC].

Exercice 7 — Parallélisme

On donne \(A(1\,;\,-1)\), \(B(4\,;\,5)\), \(C(-2\,;\,3)\) et \(D(0\,;\,7)\). Déterminer si les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.

Afficher la correction

Les points A et B sont distincts, de même que C et D. On choisit un vecteur directeur de chaque droite :

  • \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((4-1\,;5-(-1))\), soit \((3\,;6)\) ;
  • \(\overrightarrow{CD}\) a pour coordonnées \((0-(-2)\,;7-3)\), soit \((2\,;4)\).

Leur déterminant vaut \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=3\times4-6\times2=12-12=0\).

Ces vecteurs directeurs sont colinéaires : (AB) et (CD) sont parallèles.

Pour préciser leur position, \(\overrightarrow{AC}\) a pour coordonnées \((-2-1\,;3-(-1))\), soit \((-3\,;4)\). On calcule \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=3\times4-6\times(-3)=30\ne0\). C n’appartient donc pas à (AB) : les droites sont strictement parallèles.

Exercice 8 — Parallélogramme

On donne \(A(0\,;\,1)\), \(B(5\,;\,2)\), \(C(7\,;\,6)\) et \(D(2\,;\,5)\).

  1. Démontrer que \(ABCD\) est un parallélogramme à l’aide des vecteurs.
  2. Vérifier le résultat en calculant les milieux des diagonales.
Afficher la correction
  1. On calcule les coordonnées de deux vecteurs correspondant aux côtés opposés :
    • \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((5-0\,;2-1)\), soit \((5\,;1)\) ;
    • \(\overrightarrow{DC}\) a pour coordonnées \((7-2\,;6-5)\), soit \((5\,;1)\).
    Ces vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Ainsi, ABCD est un parallélogramme.
  2. On calcule les coordonnées du milieu de chaque diagonale. Pour le milieu I de [AC] : \(x_I=\dfrac{0+7}{2}=\dfrac72\) et \(y_I=\dfrac{1+6}{2}=\dfrac72\), soit \(I\left(\dfrac72\,;\dfrac72\right)\). Pour le milieu J de [BD] : \(x_J=\dfrac{5+2}{2}=\dfrac72\) et \(y_J=\dfrac{2+5}{2}=\dfrac72\), soit \(J\left(\dfrac72\,;\dfrac72\right)\). Les diagonales ont le même milieu : cela confirme que ABCD est un parallélogramme.

Vidéo

Vidéo explicative sur les vecteurs et les coordonnées :

À retenir

Pour \(\overrightarrow{AB}\), calcule toujours les coordonnées du point d’arrivée moins celles du point de départ.

Les formules de norme et de distance s’utilisent dans un repère orthonormé.

Pour tester une colinéarité sans division, calcule le déterminant \(xy'-yx'\).

Une figure aide à conjecturer ; les coordonnées et les égalités vectorielles permettent de démontrer.

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