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Seconde — Vecteurs

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Vecteurs

Découvre les vecteurs comme des déplacements, apprends à les additionner, à les multiplier par un réel et à reconnaître des vecteurs colinéaires.

Cours Exercices Vidéo À retenir

Cours

1. Comprendre la notion de vecteur

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) décrit le déplacement qui permet d’aller du point \(A\) vers le point \(B\).

Lorsque \(A \ne B\), il est caractérisé par :

  • sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
  • son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
  • sa norme : \(\|\overrightarrow{AB}\|=AB\).

Un même vecteur peut être représenté à différents endroits du plan : les vecteurs obtenus ont alors la même direction, le même sens et la même longueur.

Deux représentants d’un même vecteur Les vecteurs AB et CD ont la même direction, le même sens et la même longueur. A B AB C D CD
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) : deux représentants d’un même vecteur.

2. Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils représentent exactement le même déplacement. Ils ont donc la même direction, le même sens et la même norme.

Si \(ABCD\) est un parallélogramme dont les sommets sont rangés dans cet ordre, alors :

\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.\]

Réciproquement, l’égalité \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) permet de conclure que \(ABCD\) est un parallélogramme, éventuellement aplati.

Égalité de vecteurs dans un parallélogramme Dans le parallélogramme ABCD, les vecteurs AB et DC sont égaux. A B C D AB DC
Dans le parallélogramme \(ABCD\), \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).

3. Vecteur nul et vecteur opposé

Le déplacement d’un point vers lui-même définit le vecteur nul : \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\). Sa norme est nulle et il est colinéaire à tout vecteur.

L’opposé du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est \(\overrightarrow{BA}\) :

\[\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.\]

Ces deux vecteurs ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés. Attention : la direction désigne une droite ; le sens indique l’orientation du déplacement sur cette droite.

4. Additionner des vecteurs

La somme \(\vec{u}+\vec{v}\) correspond à deux déplacements effectués successivement.

Pour tous points \(A\), \(B\) et \(C\), la relation de Chasles donne :

\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.\]

On peut aussi introduire un point intermédiaire \(M\) :

\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}.\]

Relation de Chasles Le vecteur AB suivi du vecteur BC donne le vecteur AC. A B C AB BC AC
Enchaînement des déplacements : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

Lorsque deux vecteurs ont la même origine, leur somme se construit comme la diagonale du parallélogramme. Ainsi, dans un parallélogramme \(ABCD\) :

\[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.\]

5. Soustraire et simplifier une expression vectorielle

Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé :

\[\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v}).\]

Quelques simplifications utiles :

  • \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) ;
  • \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}\) ;
  • \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\) ;
  • \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\vec{0}\).

Méthode : transformer d’abord les soustractions en additions, réordonner les termes, puis repérer des vecteurs qui s’enchaînent.

Exemple — simplifier une somme

Simplifions \(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN}\).

\[\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN} =\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP} =\overrightarrow{MP}.\]

6. Multiplier un vecteur par un réel

Soit un réel \(k\). Le vecteur \(k\vec{u}\) est colinéaire à \(\vec{u}\) et vérifie :

\[\|k\vec{u}\|=|k|\,\|\vec{u}\|.\]

  • si \(k>0\), les deux vecteurs ont le même sens ;
  • si \(k<0\), ils ont des sens opposés ;
  • si \(k=0\) ou \(\vec{u}=\vec{0}\), alors \(k\vec{u}=\vec{0}\).
Multiplication d’un vecteur par un réel Comparaison des vecteurs u, deux u et moins u. O u 2u −u
\(2\vec{u}\) a le même sens et une norme doublée ; \(-\vec{u}\) a la même norme et le sens opposé.

7. Colinéarité

Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires lorsqu’il existe un réel \(k\) tel que :

\[\vec{u}=k\vec{v}.\]

Cette notion permet de traduire des propriétés géométriques :

  • \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires ;
  • les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.

Exemple — utiliser la colinéarité

Si \(\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}\), alors les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont donc alignés.

Exercices d'entrainement

Exercice 1 — Lire un vecteur

Pour chacun des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{EF}\) représentés sur une figure, préciser sa direction, son sens et sa norme.

Trois vecteurs de normes indiquées en centimètresABCDEF3 cm4 cm5 cm
Les longueurs indiquées sont les données de l’exercice ; le dessin s’adapte à l’écran.
Afficher la correction
  1. \(\overrightarrow{AB}\) a pour direction celle de la droite \((AB)\), horizontale sur la figure ; son sens va de A vers B, de gauche à droite. Sa norme est \(\|\overrightarrow{AB}\|=AB=3\) cm.
  2. \(\overrightarrow{CD}\) a pour direction celle de \((CD)\), verticale sur la figure ; son sens va de C vers D, du bas vers le haut. Sa norme est \(\|\overrightarrow{CD}\|=CD=4\) cm.
  3. \(\overrightarrow{EF}\) a pour direction celle de \((EF)\), oblique sur la figure ; son sens va de E vers F, du bas à droite vers le haut à gauche. Sa norme est \(\|\overrightarrow{EF}\|=EF=5\) cm.

La direction ne dépend pas du sens de parcours : les vecteurs AB et BA ont la même direction, mais des sens opposés.

Exercice 2 — Parallélogramme

Soit \(ABCD\) un parallélogramme.

  1. Recopier deux égalités de vecteurs obtenues à partir de ses côtés.
  2. Exprimer \(\overrightarrow{AC}\) comme une somme de deux vecteurs.
  3. Construire le point \(E\) tel que \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}\).
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  1. Dans le parallélogramme ABCD, avec les sommets dans cet ordre, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
  2. Par Chasles, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\). Comme \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\), on obtient aussi \(\boxed{\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}\).
  3. À partir de A, on reporte le déplacement de B vers D : on trace par A la parallèle à (BD), puis on place E dans le même sens que B vers D, avec AE = BD. On obtient ainsi \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}\). E est l’image de A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BD}\).

Exercice 3 — Relation de Chasles

Simplifier les expressions suivantes :

  1. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ;
  2. \(\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{ST}+\overrightarrow{TU}\) ;
  3. \(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN}\) ;
  4. \(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BX}\).
Afficher la correction
  1. Par Chasles, \(\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}}\).
  2. On regroupe les déplacements successifs : \(\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{ST}+\overrightarrow{TU}=\overrightarrow{RT}+\overrightarrow{TU}=\boxed{\overrightarrow{RU}}\).
  3. On remplace la soustraction par l’addition du vecteur opposé : \(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\boxed{\overrightarrow{MP}}\).
  4. Le déplacement revient au point de départ : \(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BX}=\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{BX}=\overrightarrow{XX}=\boxed{\vec0}\).

Exercice 4 — Produit par un réel

Soit un vecteur non nul \(\vec{u}\) de norme \(4\). Préciser le sens et la norme de \(3\vec{u}\), \(-2\vec{u}\) et \(\dfrac12\vec{u}\).

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On utilise \(\|k\vec u\|=|k|\,\|\vec u\|\), avec \(\|\vec u\|=4\).

  1. Pour \(3\vec u\), le coefficient 3 est positif : même direction et même sens que \(\vec u\). Sa norme est \(3\times4=\boxed{12}\).
  2. Pour \(-2\vec u\), le coefficient est négatif : même direction, mais sens opposé. Sa norme est \(|-2|\times4=\boxed8\).
  3. Pour \(\dfrac12\vec u\), le coefficient est positif : même direction et même sens. Sa norme est \(\dfrac12\times4=\boxed2\).

Une norme est toujours positive ou nulle : le signe du coefficient détermine le sens, pas le signe de la norme.

Exercice 5 — Alignement

On sait que \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\). Que peut-on conclure sur les points \(A\), \(M\) et \(B\) ? Justifier et préciser la position de \(M\).

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L’égalité \(\overrightarrow{AM}=\dfrac23\overrightarrow{AB}\) montre que les vecteurs AM et AB sont colinéaires : A, M et B sont alignés.

Si A et B sont distincts, le coefficient \(\dfrac23\) est strictement compris entre 0 et 1 : M se situe à l’intérieur du segment [AB], aux deux tiers du trajet de A vers B.

On a \(AM=\dfrac23AB\) et \(MB=AB-AM=\dfrac13AB\). Donc \(AM=2MB\).

Si A = B, le vecteur AB est nul et M = A = B.

Exercice 6 — Parallélisme

Dans une figure, les vecteurs \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{GH}\) vérifient :

\[2\overrightarrow{EF}+3\overrightarrow{GH}=\vec{0}.\]

  1. Exprimer \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{GH}\).
  2. Démontrer que les droites \((EF)\) et \((GH)\) sont parallèles.
  3. Comparer le sens et les normes des deux vecteurs.
  4. Si \(GH=4\) cm, calculer \(EF\).
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On suppose E ≠ F et G ≠ H afin que les droites (EF) et (GH) soient définies.

  1. De \(2\overrightarrow{EF}+3\overrightarrow{GH}=\vec0\), on déduit \(2\overrightarrow{EF}=-3\overrightarrow{GH}\), puis \(\boxed{\overrightarrow{EF}=-\dfrac32\overrightarrow{GH}}\).
  2. Un vecteur est un multiple de l’autre : ils sont colinéaires. Les droites (EF) et (GH) sont donc parallèles, éventuellement confondues.
  3. Le coefficient est négatif : les vecteurs sont de sens opposés. Leurs normes vérifient \(\|\overrightarrow{EF}\|=\dfrac32\|\overrightarrow{GH}\|\).
  4. Si GH = 4 cm, alors \(EF=\dfrac32\times4=\boxed{6\text{ cm}}\).

Exercice 7 — Raisonnement vectoriel

Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Le point \(M\) est défini par \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et le point \(N\) par \(\overrightarrow{DN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}\).

  1. Exprimer \(\overrightarrow{MN}\) en utilisant la relation de Chasles.
  2. Démontrer que \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}\).
  3. En déduire la nature du quadrilatère \(AMND\).
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  1. On passe successivement par A puis D : \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\).
  2. On sait que \(\overrightarrow{MA}=-\dfrac23\overrightarrow{AB}\). Dans le parallélogramme ABCD, \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{DN}=\dfrac23\overrightarrow{AB}\). En remplaçant : \(\overrightarrow{MN}=-\dfrac23\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\dfrac23\overrightarrow{AB}=\boxed{\overrightarrow{AD}}\).
  3. L’égalité \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}\) signifie que deux côtés opposés, orientés de manière correspondante, sont égaux. Ainsi AMND est un parallélogramme. On a également \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{DN}\).

Vidéo

Vidéo explicative sur les vecteurs :

À retenir

Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

Soustraction : \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})\).

Colinéarité : chercher un réel \(k\) tel que \(\vec{u}=k\vec{v}\).

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