Cours
1. Le triangle rectangle
La trigonométrie étudiée en seconde concerne le triangle rectangle.
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.
2. Le vocabulaire par rapport à un angle
On se place par rapport à un angle aigu α.
- le côté opposé est en face de l’angle ;
- le côté adjacent touche l’angle, sans être l’hypoténuse ;
- l’hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle.
3. Les rapports trigonométriques
Dans un triangle rectangle :
cos(α) = côté adjacent / hypoténuse
sin(α) = côté opposé / hypoténuse
tan(α) = côté opposé / côté adjacent
Ces trois formules permettent de relier un angle et les longueurs des côtés.
4. Calculer une longueur
Pour calculer une longueur, on choisit la formule qui utilise l’angle connu et les côtés utiles.
Exemple : si cos(40°) = 4 / AB, alors AB = 4 / cos(40°).
5. Calculer un angle
Si on connaît un rapport de longueurs, on peut calculer l’angle avec la calculatrice en utilisant les fonctions inverses :
cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹.
Exemple : si sin(α) = 0,5, alors α ≈ 30°.
6. Hauteur et projeté orthogonal
Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est le segment perpendiculaire au côté opposé.
Le point d’intersection entre cette hauteur et le côté opposé est appelé le projeté orthogonal du sommet sur ce côté.
Cette notion est utile pour calculer une aire.
7. Aire d’un triangle
L’aire d’un triangle se calcule avec la formule :
Aire = (base × hauteur) / 2
La hauteur choisie doit être perpendiculaire à la base.
Exemple 1
Dans un triangle rectangle, on connaît un angle de 30° et l’hypoténuse mesure 10.
sin(30°) = opposé / 10
Or sin(30°) = 0,5, donc :
opposé = 10 × 0,5 = 5
Exemple 2
Un triangle a une base de 12 cm et une hauteur de 5 cm.
Son aire vaut :
Aire = (12 × 5) / 2 = 30
Exercices
Exercice 1
Dans un triangle rectangle, identifier :
- l’hypoténuse ;
- le côté opposé à un angle donné ;
- le côté adjacent à un angle donné.
Exercice 2
Dans un triangle rectangle, l’angle aigu mesure 45° et l’hypoténuse mesure 8.
- Écrire la relation avec le cosinus.
- Calculer le côté adjacent.
Exercice 3
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle mesure 6 et l’hypoténuse mesure 10.
- Calculer le sinus de l’angle.
- En déduire une valeur approchée de l’angle.
Exercice 4
Dans un triangle rectangle, le côté opposé mesure 5 et le côté adjacent mesure 12.
- Calculer la tangente de l’angle.
- Déterminer l’angle au degré près.
Exercice 5
Une base mesure 14 cm et la hauteur correspondante mesure 9 cm.
- Calculer l’aire du triangle.
Exercice 6
Expliquer ce qu’est le projeté orthogonal d’un point sur une droite ou sur un segment.
Vidéo
Vidéo explicative sur la trigonométrie :
Astuce
Commence toujours par repérer : opposé, adjacent, hypoténuse.
Retenir : cos = adjacent / hypoténuse, sin = opposé / hypoténuse, tan = opposé / adjacent.
Pour l’aire d’un triangle, choisis une base puis la hauteur perpendiculaire à cette base.