1. Vecteur en géométrie du plan

En géométrie du plan, un vecteur représente un mouvement, c’est-à-dire un déplacement d’un point vers un autre.

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme.

Le vecteur d’origine A et d’extrémité B se note \(\overrightarrow{AB}\).

2. Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Cela signifie qu’ils représentent exactement le même déplacement.

3. Vecteur opposé

Le vecteur opposé d’un vecteur est un vecteur qui a la même direction, la même norme, mais le sens contraire.

Le vecteur opposé de \(\vec{u}\) se note \(-\vec{u}\).

Par exemple, les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés.

On a donc : \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\).

4. Relation de Chasles

Pour tous points A, B et C, on a :

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)

Cette relation est fondamentale pour enchaîner des déplacements et simplifier des expressions vectorielles.

5. Vecteurs en géométrie repérée

En géométrie repérée, si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées :

\((x_B - x_A ; y_B - y_A)\)

6. Opérations sur les vecteurs

On peut additionner deux vecteurs coordonnée par coordonnée.

Si \(\vec{u}(x ; y)\) et \(\vec{v}(x' ; y')\), alors :

\(\vec{u} + \vec{v}(x + x' ; y + y')\)

On peut aussi multiplier un vecteur par un nombre réel.

Par exemple : \(-\vec{u}\) est le vecteur opposé de \(\vec{u}\).

7. Colinéarité

Deux vecteurs sont colinéaires s’il existe un nombre réel k tel que :

\(\vec{u} = k\vec{v}\)

Autrement dit, deux vecteurs colinéaires ont la même direction.

Cette propriété permet notamment de montrer que des droites sont parallèles ou que des points sont alignés.

8. Un outil entre géométrie et calcul

Les vecteurs font le lien entre la vision géométrique d’une figure et le calcul dans un repère.