Cours
1. Sens de variation
Une fonction est croissante sur un intervalle lorsque, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente.
Elle est décroissante lorsque, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue.
On parle de monotonie lorsqu’une fonction est soit croissante, soit décroissante sur un intervalle.
2. Extremums
Un maximum est la plus grande valeur prise par la fonction sur un intervalle.
Un minimum est la plus petite valeur prise par la fonction sur un intervalle.
3. Fonction carré
La fonction carré \(x \mapsto x^2\) est :
- décroissante sur \(]-\infty ; 0]\) ;
- croissante sur \([0 ; +\infty[\).
Elle admet un minimum égal à \(0\) en \(x=0\).
4. Fonction inverse
La fonction inverse \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) est décroissante sur \(]-\infty ; 0[\) et sur \(]0 ; +\infty[\).
5. Fonction racine carrée
La fonction racine carrée \(x \mapsto \sqrt{x}\) est croissante sur \([0 ; +\infty[\).
6. Fonction cube
La fonction cube \(x \mapsto x^3\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
7. Fonction affine
Pour une fonction affine \(f(x)=mx+p\) :
- si \(m>0\), elle est croissante ;
- si \(m<0\), elle est décroissante ;
- si \(m=0\), elle est constante.
Exemple
La fonction \(f(x)=x^2\) admet un minimum égal à \(0\).
La fonction \(g(x)=2x+1\) est croissante car son coefficient directeur vaut \(2\).
Exercices
Exercice 1
Dire si la fonction \(f(x)=3x-2\) est croissante, décroissante ou constante.
Exercice 2
Donner les intervalles de variation de la fonction carré.
Exercice 3
Donner les variations de la fonction inverse.
Exercice 4
Quel extremum possède la fonction carré ?
Exercice 5
Indiquer les variations des fonctions cube et racine carrée.
Vidéo
Vidéo explicative sur les variations et extremums :
Astuce
Pour une fonction affine, regarde d’abord le signe du coefficient directeur.
Pour la fonction carré, le point clé est \(x=0\) : elle descend puis elle monte.