Exercice 1 — Choisir une forme
Pour \(f(x)=x^2-6x+5\), déterminer les racines, le sommet et le minimum.
Afficher la correction
\(f(x)=(x-1)(x-5)=(x-3)^2-4\). Racines : 1 et 5. Sommet \(S(3;-4)\), minimum \(-4\).
Avant de commencer
Prérequis : identités remarquables, développement, factorisation, produit nul, intervalles et fonction carré.
Objectifs : passer d’une forme à l’autre, diversifier les stratégies de factorisation, résoudre équations et inéquations, construire un trinôme et résoudre un problème d’optimisation.
1. Reconnaître un trinôme et choisir sa forme
Une fonction polynôme du second degré est définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=ax^2+bx+c\), avec \(a\ne0\). Les nombres \(a,b,c\) sont ses coefficients. Une racine est un réel \(r\) tel que \(f(r)=0\).
Trois écritures, une même fonction :
\[f(x)=2x^2-8x+6=2(x-2)^2-2=2(x-1)(x-3)\]
| Forme | Utilité principale |
|---|---|
| Développée : \(ax^2+bx+c\) | Lire les coefficients et calculer le discriminant. |
| Canonique : \(a(x-\alpha)^2+\beta\) | Lire le sommet, l’extremum et les variations. |
| Factorisée : \(a(x-r_1)(x-r_2)\) | Lire les racines et étudier le signe. |
Pour \(f(x)=2x^2-8x+6\), on lit \(a=2,b=-8,c=6\). La forme factorisée donne les racines 1 et 3 ; la forme canonique donne le minimum \(-2\), atteint en 2.
2. Forme canonique et sommet
\[f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta,\qquad \alpha=-\frac b{2a},\qquad\beta=f(\alpha)=c-\frac{b^2}{4a}.\]
La courbe est une parabole de sommet \(S(\alpha;\beta)\) et d’axe de symétrie \(x=\alpha\).
Exemple : compléter le carré
\[2x^2-8x+6=2(x^2-4x)+6=2\bigl((x-2)^2-4\bigr)+6=2(x-2)^2-2.\]
Justifier la formule générale
\[ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}.\]
3. Variations et représentation graphique
Le carré \((x-\alpha)^2\) diminue jusqu’à 0 puis augmente. Le signe de \(a\) détermine l’orientation de la parabole.
Si \(a\gt 0\) : un minimum
\[\begin{array}{c|ccccc}x&-\infty&&\alpha&&+\infty\\\hline f(x)&+\infty&\searrow&\beta&\nearrow&+\infty\end{array}\]
La fonction est strictement décroissante sur \(]-\infty;\alpha]\), puis strictement croissante sur \([\alpha;+\infty[\).
Si \(a\lt 0\) : un maximum
\[\begin{array}{c|ccccc}x&-\infty&&\alpha&&+\infty\\\hline f(x)&-\infty&\nearrow&\beta&\searrow&-\infty\end{array}\]
La fonction est strictement croissante sur \(]-\infty;\alpha]\), puis strictement décroissante sur \([\alpha;+\infty[\).
Les flèches vers les infinis décrivent le comportement de la fonction ; les infinis ne sont pas des valeurs atteintes.
4. Résoudre une équation du second degré
\[\Delta=b^2-4ac\]
- Si \(\Delta\gt 0\), deux racines réelles distinctes : \(\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\) et \(\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\).
- Si \(\Delta=0\), une racine double : \(r=-\dfrac b{2a}\).
- Si \(\Delta\lt 0\), aucune racine réelle.
Pour établir un tableau de signes, range toujours les racines dans l’ordre croissant. Quand \(a\lt 0\), la formule avec \(-\sqrt\Delta\) ne donne pas la plus petite.
Deux racines : \(2x^2-5x-3=0\)
\(\Delta=25+24=49\), donc les solutions sont \(\frac{5-7}{4}=-\frac12\) et \(\frac{5+7}{4}=3\).
Une racine double : \(-3x^2+12x-12=0\)
\(\Delta=144-144=0\), donc \(S=\{2\}\).
Aucune racine réelle : \(x^2+2x+5=0\)
\(\Delta=4-20=-16\lt 0\), donc \(S=\varnothing\).
Démonstration : retrouver les formules de résolution
La forme canonique s’écrit :
\[f(x)=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a}.\]
\[f(x)=0\iff(2ax+b)^2=\Delta.\]
Un carré est positif ou nul. Si \(\Delta\lt 0\), aucune solution n’est possible. Si \(\Delta=0\), on obtient \(2ax+b=0\). Si \(\Delta\gt 0\), on obtient \(2ax+b=\sqrt\Delta\) ou \(2ax+b=-\sqrt\Delta\), d’où les deux formules.
5. Factoriser avec la bonne stratégie
Avant de calculer un discriminant, cherche une identité remarquable ou une racine évidente.
- Deux racines distinctes : \(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\).
- Une racine double : \(f(x)=a(x-r)^2\).
- Aucune racine réelle : pas de factorisation en produit de deux facteurs du premier degré à coefficients réels.
Identité remarquable : \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\).
Racine évidente : pour \(p(x)=3x^2-2x-1\), \(p(1)=0\). La deuxième racine est \(-\frac13\), donc \(p(x)=(x-1)(3x+1)\).
Discriminant : \(2x^2-5x-3=2(x+\frac12)(x-3)=(2x+1)(x-3)\).
Somme et produit des racines
Si les deux racines réelles existent, éventuellement confondues :
\[r_1+r_2=-\frac ba,\qquad r_1r_2=\frac ca.\]
En développant \(a(x-r_1)(x-r_2)\), on obtient \(ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2\), ce qui justifie ces égalités.
Pour \(x^2-7x+10\), on cherche deux nombres de somme 7 et de produit 10 : 2 et 5. Ainsi \(x^2-7x+10=(x-2)(x-5)\).
Construire un trinôme à partir de ses racines
Tous les trinômes s’annulant en deux réels distincts \(u\) et \(v\) sont de la forme \(a(x-u)(x-v)\), avec \(a\ne0\). Une valeur supplémentaire détermine \(a\).
Si \(f(1)=f(3)=0\) et \(f(0)=6\), alors \(f(x)=a(x-1)(x-3)\) et \(3a=6\). Donc \(a=2\).
6. Signe du trinôme et inéquations
Deux racines distinctes \(r_1\lt r_2\)
Le trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines, du signe opposé entre elles, et nul aux racines.
\[\begin{array}{c|ccccccc}x&-\infty&&r_1&&r_2&&+\infty\\\hline f(x)&&\operatorname{signe}(a)&0&-\operatorname{signe}(a)&0&\operatorname{signe}(a)&\end{array}\]
Une racine double
\[\begin{array}{c|ccccc}x&-\infty&&r&&+\infty\\\hline f(x)&&\operatorname{signe}(a)&0&\operatorname{signe}(a)&\end{array}\]
Aucune racine réelle
Le trinôme est strictement du signe de \(a\) sur \(\mathbb R\).
Pourquoi la règle des signes fonctionne-t-elle ?
Pour deux racines, on étudie les facteurs \(x-x_1\) et \(x-x_2\). Leur produit est positif à l’extérieur et négatif entre les racines. Une racine double donne un carré. Enfin, si \(\Delta\lt 0\), dans la forme \(a[(x-\alpha)^2-\Delta/(4a^2)]\), le crochet est strictement positif.
Résoudre \(2x^2-5x-3\leq0\)
On a \(f(x)=(2x+1)(x-3)\), avec \(a=2\gt 0\).
\[\begin{array}{c|ccccccc}x&-\infty&&-\frac12&&3&&+\infty\\\hline f(x)&&+&0&-&0&+&\end{array}\]
On retient les valeurs négatives ou nulles : \(S=[-\frac12;3]\).
Pour \(f(x)\gt 0\), on aurait \(S=]-\infty;-\frac12[\,\cup\,]3;+\infty[\).
Enfin, \(-3(x-2)^2\gt 0\) n’a aucune solution, tandis que \(-3(x-2)^2\geq0\) a pour seule solution 2.
7. Modéliser et optimiser une aire
Un rectangle a un périmètre de 24 mètres. On note \(x\) sa largeur. Sa longueur vaut \(12-x\), avec \(0\lt x\lt 12\).
\[A(x)=x(12-x)=-x^2+12x=-(x-6)^2+36.\]
La forme canonique montre que l’aire maximale vaut 36 m², atteinte pour \(x=6\). Le rectangle est alors un carré de côté 6 mètres.
Pour déterminer quand l’aire vaut au moins 32 m² :
\[A(x)\ge32\iff(x-6)^2\le4\iff4\le x\le8.\]
On vérifie que les solutions appartiennent à l’intervalle admissible. La forme développée sert à calculer ; la forme canonique met ici directement en évidence le maximum et le seuil.
8. Exercices avec corrections
Exercice 2 — Résoudre sans discriminant
Résoudre \(9x^2-16=0\).
Afficher la correction
\((3x-4)(3x+4)=0\), donc \(S=\{-\frac43;\frac43\}\).
Exercice 3 — Discriminant et factorisation
Résoudre \(3x^2+x-2=0\), puis factoriser.
Afficher la correction
\(\Delta=25\). Racines : \(-1\) et \(\frac23\). Donc \(3x^2+x-2=(x+1)(3x-2)\).
Exercice 4 — Signe avec un coefficient négatif
Résoudre \(-2x^2+2x+4\gt 0\).
Afficher la correction
\(-2x^2+2x+4=-2(x+1)(x-2)\). Racines \(-1\) et 2. Le trinôme est positif entre les racines : \(S=]-1;2[\).
Exercice 5 — Construire un trinôme
Déterminer \(f\) sachant que ses racines sont \(-2\) et 4, et que \(f(0)=16\).
Afficher la correction
\(f(x)=a(x+2)(x-4)\). Ainsi \(-8a=16\), donc \(a=-2\) et \(f(x)=-2x^2+4x+16\).
Exercice 6 — Racine double
Étudier les variations et le signe de \(g(x)=2x^2+4x+2\).
Afficher la correction
\(g(x)=2(x+1)^2\). Minimum 0 en \(-1\), décroissante puis croissante. Positive partout sauf en \(-1\), où elle est nulle.
Exercice 7 — Une racine connue
Pour \(p(x)=2x^2-7x+3\), vérifier que 3 est racine et trouver l’autre avec le produit.
Afficher la correction
\(p(3)=18-21+3=0\). Le produit des racines vaut \(\frac32\), donc l’autre racine vaut \(\frac12\).
9. Les erreurs à éviter
- Oublier que \(a\ne0\).
- Confondre la racine \(r\) avec le facteur \(x-r\).
- Oublier le coefficient \(a\) dans la forme factorisée.
- Écrire \(\sqrt{b^2-4ac}=b-2\sqrt{ac}\) : cette égalité est fausse.
- Oublier de ranger les racines avant de dresser un tableau.
- Confondre signe et variations : une fonction décroissante peut être positive.
- Inclure les racines dans les solutions d’une inéquation stricte.
10. Le cours en vidéo
Comprendre le second degré
Retrouve ici une vidéo explicative sur la forme canonique, les racines et le signe du trinôme.