Première spécialité maths • Algèbre
Choisis un chapitre, retrouve les notions essentielles et commence par un exemple guidé. Un parcours pour calculer avec méthode et modéliser des situations.
Le parcours Algèbre
Cette page propose une entrée dans chaque chapitre : notions, repères de méthode et un exemple corrigé.
Reconnaître les différentes formes d’un trinôme et choisir celle qui convient pour résoudre un problème.
Décrire une évolution discrète et passer d’un mode de définition à un autre.
Reconnaître une évolution à écart constant ou à taux constant et exploiter le modèle adapté.
Comprendre et s’entraîner
Les exemples ci-dessous servent de point de départ. Ils ne remplacent pas un cours complet ni un entraînement progressif.
Un trinôme s’écrit f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0. Ses différentes formes donnent accès à ses racines, à son signe ou à son extremum.
Résoudre x² − 5x + 6 = 0, puis déterminer le signe de x² − 5x + 6.
Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 1. Les racines sont 2 et 3.
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Le trinôme est strictement positif pour x < 2 ou x > 3, nul en 2 et 3, et strictement négatif pour 2 < x < 3.
Une suite associe un nombre uₙ à chaque indice entier n de son domaine. Il faut toujours préciser le premier indice.
Pour étudier les variations, on peut chercher le signe de uₙ₊₁ − uₙ pour tous les indices concernés.
Une observation sur quelques termes permet de conjecturer une propriété ; elle ne suffit pas à la démontrer pour tous les indices.
Pour n ≥ 0, on définit uₙ = n² + 1. Calculer u₀, u₁ et u₂, puis étudier les variations de la suite.
u₀ = 1, u₁ = 2 et u₂ = 5.
uₙ₊₁ − uₙ = (n + 1)² + 1 − (n² + 1) = 2n + 1.
Pour tout entier n ≥ 0, 2n + 1 > 0 : la suite est strictement croissante.
Une suite arithmétique traduit un écart constant ; une suite géométrique traduit une multiplication par un même nombre à chaque étape.
Arithmétique : uₙ₊₁ = uₙ + r et uₙ = u₀ + nr, pour n ≥ 0.
Géométrique : vₙ₊₁ = qvₙ et vₙ = v₀qⁿ, pour n ≥ 1 ; v₀ est le terme initial.
Une hausse de t % correspond au coefficient multiplicateur 1 + t/100. Une baisse de t % correspond à 1 − t/100.
Pour une suite arithmétique : nombre de termes × (premier terme + dernier terme)/2.
Pour n ≥ 0 et q ≠ 1 : 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). Si q = 1, la somme vaut n + 1.
Un capital initial de 500 € augmente de 4 % par an. On note Cₙ sa valeur après n années, sans versement ni retrait. Déterminer sa nature et calculer C₃.
Le coefficient multiplicateur annuel vaut 1,04. Donc C₀ = 500 et Cₙ₊₁ = 1,04Cₙ.
La suite est géométrique de raison 1,04. Pour n ≥ 0, Cₙ = 500 × 1,04ⁿ.
C₃ = 562,432, soit 562,43 € au centime près.
Pour travailler efficacement : tente l’exemple avant d’ouvrir sa correction, explique chaque étape et reprends les calculs qui te posent problème.
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