Première spécialité • Algèbre
Définir une suite, calculer ses termes, représenter ses valeurs et étudier son sens de variation : un cours progressif avec Python et exercices corrigés.
Prérequis : calcul littéral, fonctions, variations, fractions et boucles en Python.
Objectifs : passer de la langue naturelle à une formule, calculer des termes, représenter une suite, justifier ses variations et explorer son comportement à long terme.
Une suite numérique est une fonction définie sur les entiers naturels, ou à partir d’un certain entier, et à valeurs réelles. Ici, \(\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}\).
\((u_n)\) désigne la suite ; \(u_n\) est son terme d’indice n. L’indice indique une position, le terme est un nombre.
Si \(u_n=2n+3\), alors \(u_0=3\), \(u_1=5\) et \(u_2=7\). La suite commence à l’indice 0 : \(u_2\) est donc le troisième terme.
\(u_{n+1}\) est le terme suivant ; \(u_n+1\) est le terme courant auquel on ajoute 1. Ce sont deux expressions différentes.
Une formule explicite exprime directement \(u_n\) en fonction de \(n\). On peut calculer un terme sans calculer les précédents.
Pour \(u_n=n^2+2\), on obtient \(u_0=2\), \(u_1=3\), \(u_2=6\), \(u_3=11\), et \(u_{20}=402\).
Pour \(v_n=\frac1n\), la suite n’est définie que pour \(n\ge1\). Toujours préciser les indices autorisés avant de calculer.
Une définition par récurrence précise un terme initial et une règle permettant de calculer le terme suivant à partir du terme courant.
\(u_1=2\times5-1=9\), puis \(u_2=2\times9-1=17\), et \(u_3=33\). Pour obtenir \(u_3\), on a utilisé successivement les termes précédents.
Le terme initial est indispensable : avec la même règle mais \(v_0=1\), tous les termes valent 1.
Dans \(u_{n+1}=2u_n-1\), on remplace \(u_n\) par sa valeur connue, pas par l’indice \(n\). Une définition par récurrence ne doit pas être confondue avec une démonstration par récurrence.
On aligne des carrés avec des allumettes. Le premier carré nécessite quatre allumettes ; chaque carré supplémentaire partage un côté et en nécessite trois de plus. Pour \(n\ge1\), notons \(a_n\) le nombre d’allumettes.
En orange : les trois nouvelles allumettes. Le côté partagé existe déjà : on ne le compte pas deux fois.
On obtient deux descriptions de la même suite : récurrence et formule explicite. Ainsi, dix carrés nécessitent \(a_{10}=31\) allumettes.
Un capital initial de 500 € augmente de 4 % par an, sans versement supplémentaire. Avec \(C_n\) le capital après \(n\) années :
Les suites obtenues en ajoutant toujours le même nombre ou en multipliant toujours par le même facteur seront étudiées en détail dans le chapitre sur les suites arithmétiques et géométriques.
On place les points de coordonnées \((n;u_n)\). Les indices sont entiers : la représentation est un nuage de points, et non une courbe continue.
Si \(u_n=f(n)\), les points appartiennent à la courbe de \(f\), mais seules les abscisses entières correspondant aux indices sont utilisées.
Quelques points permettent de conjecturer un comportement ; ils ne prouvent pas une propriété pour tous les indices.
Pour tout entier \(n\ge k\) :
Avec des inégalités strictes à tous les rangs concernés, on parle de croissance ou de décroissance stricte. Une suite monotone est croissante ou décroissante.
\(u_n=(-1)^n\) prend successivement les valeurs \(1,-1,1,-1,\ldots\). Elle n’est ni croissante ni décroissante.
Calculer \(u_{n+1}-u_n\), simplifier, puis en étudier le signe pour tous les indices concernés.
Pour \(u_n=n^2+2\) :
La suite est strictement croissante sur \(\mathbb N\).
Pour \(v_n=\frac1{n+1}\) :
Les deux facteurs du dénominateur sont positifs pour \(n\ge0\). La suite est donc strictement décroissante.
Pour \(w_n=n^2-6n+8\), on trouve \(w_{n+1}-w_n=2n-5\). Cette différence est négative pour les entiers 0, 1 et 2, puis positive pour tout entier \(n\ge3\).
La suite décroît de l’indice 0 à l’indice 3, puis croît à partir de 3. Son minimum est \(w_3=-1\). Les flèches résument l’évolution des termes aux indices entiers.
Si \(u_n=f(n)\) et si \(f\) est croissante sur \([k;+\infty[\), alors \(n\le n+1\) entraîne \(f(n)\le f(n+1)\). La suite est donc croissante à partir de \(k\). Le même raisonnement s’applique à la décroissance et aux variations strictes.
\(u_n=(n-2)^2+1\). La fonction \(f(x)=(x-2)^2+1\) décroît sur \([0;2]\), puis croît sur \([2;+\infty[\). La suite décroît donc jusqu’au rang 2, puis croît à partir de 2 ; son minimum vaut 1.
Cette méthode exige d’étudier la fonction sur un intervalle contenant les indices. Elle ne s’applique pas directement à une suite donnée par \(u_{n+1}=f(u_n)\). La réciproque n’est pas générale : une suite peut être croissante sans que la fonction choisie soit croissante entre les entiers.
Pour la suite \(u_0=5\), \(u_{n+1}=2u_n-1\), le programme suivant calcule le terme d’indice \(n\), pour un entier \(n\ge0\).
La variable u contient le terme courant. Chaque tour de boucle calcule le suivant.
def terme(n):
u = 5
for i in range(n):
u = 2 * u - 1
return u
>>> terme(0) 5 >>> terme(3) 33
La boucle effectue exactement \(n\) mises à jour. Le programme suivant renvoie le premier indice pour lequel \(u_n\ge1000\).
La boucle continue tant que le terme reste inférieur à 1 000.
def premier_seuil():
n, u = 0, 5
while u < 1000:
u = 2 * u - 1
n = n + 1
return n, u
>>> premier_seuil() (8, 1025)
On vérifie \(u_7=513\lt1000\) et \(u_8=1025\ge1000\). Ici, la suite admet la formule \(u_n=4\times2^n+1\), cohérente avec le terme initial et la relation de récurrence ; elle dépasse tout seuil fixé, donc la boucle se termine.
En première spécialité, on observe et on conjecture les comportements à long terme, sans définition formelle de limite ni théorèmes généraux de convergence.
Pour \(a_n=2+\frac1{n+1}\), on obtient \(a_9=2{,}1\), \(a_{99}=2{,}01\), \(a_{999}=2{,}001\). Les termes se rapprochent de 2 ; on exprime ce comportement en disant que la suite tend vers 2.
Pour \(b_n=n^2\), les termes deviennent aussi grands qu’on le souhaite lorsque l’indice est suffisamment grand : on dit que la suite tend vers \(+\infty\).
\(c_n=(-1)^n\) alterne entre 1 et −1 : ses termes ne se rapprochent d’aucun nombre et ne tendent pas vers un infini.
Une observation numérique seule ne suffit pas à prouver un comportement général. Une suite strictement croissante ne tend pas nécessairement vers \(+\infty\) : par exemple \(1-\frac1{n+1}\) se rapproche de 1.
Pour \(u_n=3n^2-n+1\), calculer \(u_0,u_2,u_5\).
\(u_0=1\), \(u_2=12-2+1=11\), \(u_5=75-5+1=71\).
\(v_0=2\), \(v_{n+1}=3v_n+1\). Calculer les quatre premiers termes.
\(v_0=2\), \(v_1=7\), \(v_2=22\), \(v_3=67\).
Pour \(u_n=n^2+2\), comparer \(u_{n+1}\) et \(u_n+1\).
\(u_{n+1}=n^2+2n+3\), alors que \(u_n+1=n^2+3\). La différence vaut \(2n\) ; ces valeurs sont égales seulement pour \(n=0\).
Étudier \(a_n=\frac3{n+2}\) pour \(n\ge0\).
\(a_{n+1}-a_n=-\frac3{(n+2)(n+3)}\lt0\). La suite est strictement décroissante.
Étudier \(b_n=n^2-4n+7\).
\(b_{n+1}-b_n=2n-3\), négatif pour \(n=0,1\), positif pour \(n\ge2\). Minimum au rang 2 : \(b_2=3\).
Une salle comporte 12 sièges au premier rang et 2 sièges de plus à chaque rang suivant. Exprimer le nombre \(s_n\) de sièges du rang \(n\ge1\).
\(s_1=12\), \(s_{n+1}=s_n+2\). Donc \(s_n=12+2(n-1)=2n+10\). Le dixième rang comporte 30 sièges.
Pour \(u_n=n^2+2\), trouver le premier indice tel que \(u_n\gt100\).
Il faut \(n^2\gt98\). Or \(u_9=83\) et \(u_{10}=102\). La croissance prouvée au cours garantit que le premier indice est 10.
Retrouve ici la vidéo explicative du chapitre.