Première spécialité maths • Probabilités et statistiques

Comprendre et modéliser le hasard

Choisis un chapitre, retrouve les notions essentielles et commence par un exemple guidé. Un parcours pour calculer avec méthode et modéliser des situations.

Explorer les deux chapitres Travailler les automatismes

Le parcours Probabilités et statistiques

Deux chapitres pour étudier le hasard

Des repères de cours, des méthodes et des exemples corrigés pour commencer à travailler chaque chapitre.

Probabilités conditionnelles

Calculer une probabilité lorsqu’une information supplémentaire est connue.

  • Probabilité conditionnelle et intersection d’événements.
  • Tableaux croisés, arbres pondérés et probabilités totales.
  • Indépendance de deux événements et épreuve de Bernoulli.
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Variables aléatoires

Associer un nombre aux issues d’une expérience et décrire sa distribution.

  • Variable aléatoire réelle et loi de probabilité.
  • Espérance, variance et écart type.
  • Modélisation de gains, simulations et moyenne observée.
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Comprendre et s’entraîner

Les premiers repères

Ces synthèses et exemples constituent une introduction. Ils sont à compléter par un cours détaillé et des exercices progressifs.

Probabilités conditionnelles

Quand on sait que l’événement A est réalisé, on restreint l’étude à cet événement. La probabilité de B sachant A se note PA(B), ou P(B | A).

Si P(A) > 0 : PA(B) = P(A ∩ B) / P(A).

On en déduit P(A ∩ B) = P(A) × PA(B). Attention : PA(B) et PB(A) ne désignent pas la même probabilité.

Lire et utiliser un arbre pondéré

  • La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
  • Multiplier les probabilités le long d’un chemin pour calculer celle de l’intersection correspondante.
  • Additionner les probabilités des chemins incompatibles qui conduisent à l’événement recherché.

Probabilités totales

Si 0 < P(A) < 1, les événements A et son complémentaire Ā donnent deux cas possibles :

P(B) = P(A) × PA(B) + P(Ā) × PĀ(B).

Indépendance

A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A)P(B). Lorsque P(A) > 0, cela équivaut à PA(B) = P(B).

Ne pas confondre indépendance et incompatibilité : deux événements incompatibles ne peuvent pas se réaliser ensemble.

À toi de chercher

Dans un lycée, 40 % des élèves sont internes. Parmi les internes, 70 % pratiquent un sport ; parmi les autres élèves, 50 % pratiquent un sport.

On choisit un élève au hasard. On note I « être interne » et S « pratiquer un sport ».

  1. Calculer P(I ∩ S).
  2. Calculer P(S).
  3. Calculer PS(I). I et S sont-ils indépendants ?
Voir la correction

P(I ∩ S) = 0,4 × 0,7 = 0,28.

P(S) = 0,4 × 0,7 + 0,6 × 0,5 = 0,58.

PS(I) = 0,28 / 0,58 = 14/29, soit environ 48,3 %.

PI(S) = 0,7 est différent de P(S) = 0,58. Les événements I et S ne sont donc pas indépendants.

Variables aléatoires

Sur un univers fini, une variable aléatoire réelle X associe un nombre réel à chaque issue. Sa loi donne les valeurs possibles xᵢ et leurs probabilités pᵢ = P(X = xᵢ).

Chaque probabilité est positive ou nulle et la somme des probabilités vaut 1.

Espérance

E(X) = ∑ xᵢpᵢ.

L’espérance correspond à la moyenne théorique de la variable. Elle n’est pas nécessairement une valeur que X peut prendre.

Variance et écart type

V(X) = ∑ (xᵢ − E(X))²pᵢ = ∑ xᵢ²pᵢ − E(X)².

σ(X) = √V(X).

L’écart type mesure la dispersion autour de l’espérance et s’exprime dans la même unité que X.

La méthode à retenir

  1. Décrire l’expérience et préciser ce que représente X.
  2. Énumérer ses valeurs possibles et calculer leurs probabilités.
  3. Vérifier que leur somme vaut 1, puis calculer et interpréter les indicateurs.

En répétant une expérience de façon indépendante, on peut comparer la moyenne des valeurs observées à l’espérance. Une simulation permet d’explorer ce comportement.

À toi de chercher

On lance un dé équilibré à six faces. Le gain net X vaut :

  • −2 € si le résultat est 1, 2 ou 3 ;
  • 1 € si le résultat est 4 ou 5 ;
  • 4 € si le résultat est 6.

Déterminer la loi de X, puis calculer son espérance, sa variance et son écart type.

Voir la correction

P(X = −2) = 1/2 ; P(X = 1) = 1/3 ; P(X = 4) = 1/6. La somme vaut 1.

E(X) = (−2) × 1/2 + 1 × 1/3 + 4 × 1/6 = 0 €.

∑ xᵢ²pᵢ = 4 × 1/2 + 1 × 1/3 + 16 × 1/6 = 5.

V(X) = 5 − 0² = 5 €² ; σ(X) = √5 €, soit environ 2,24 €.

L’espérance du gain net est nulle : le jeu est équitable. Cela ne garantit pas un bilan nul après un nombre donné de parties.

Pour entretenir tes automatismes : distingue intersection et probabilité conditionnelle, repère l’univers considéré et vérifie toujours la cohérence de tes probabilités.

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